量子計算多様体と計算論的ワームホール（２）：非可換拡張量子フーリエ変換による情報-重力二元性の精密解析

峯岸亮　
放送大学

要旨

本研究は、非可換拡張量子フーリエ変換（NAQFT）を基盤とした計算論的ワームホールの数理構造を精密に解析し、情報・エントロピー・重力の本質的同一性を数学的に定式化する。特に、コルモゴロフ-アーノルド表現と量子情報処理の間に発見された驚くべき構造的同型性を出発点として、計算複雑性理論と非可換幾何学を統合した新たな理論的枠組みを提示する。本研究の核心は、計算論的ワームホールが誘導する情報幾何学的トポロジー変化と、それが量子重力理論に与える根本的影響の解明にある。さらに、情報重力エンジン（Information Gravity Engine）の理論的基盤を構築し、量子情報処理と時空操作の統合的プラットフォームを提案する。
キーワード: 非可換拡張量子フーリエ変換、計算論的ワームホール、情報-重力二元性、エンタングルメントエントロピー、非可換幾何学、情報重力エンジン、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想、四元数表現

1. 研究の起源：コルモゴロフ-アーノルド表現と量子フーリエ変換の数学的融合

1.1 数学的構造の同型性

コルモゴロフ-アーノルド表現定理（KAT）と量子フーリエ変換（QFT）の間に存在する構造的同型性を以下のように精密化する。
KATにおける多変数関数の表現：
$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{q=0}^{2n}{\mathrm{\Phi }}_q(\sum _{p=1}^n{\varphi }_{q,p}(x_p))$$
量子フーリエ変換の行列要素：
$$⟨y|QFT|x⟩=\frac{1}{\sqrt{2^n}}{e}^{2\pi ixy/2^n}$$
この二つの数学的構造は、以下の同型写像$\mathrm{\Theta }$によって関連付けられる：
$$\mathrm{\Theta }:\mathcal{K}\to \mathcal{Q},\mathrm{\Theta }\left(\sum _{q=0}^{2n}{\mathrm{\Phi }}_q(\sum _{p=1}^n{\varphi }_{q,p}(x_p))\right)=U_{QFT}|x⟩$$
ここで$\mathcal{K}$はKAT関数空間、$\mathcal{Q}$は量子状態空間を表す。
この同型写像の存在は、位相的K理論における指数写像と形式的に等価であり、以下のアティヤ-シンガー指数定理によって特徴づけられる：
$$\text{ind}(D)={\int }_M\hat{A}(R)\wedge \text{ch}(E/S)$$
ここで$D$はディラック作用素、$\hat{A}(R)$はA-ルーフ種、$\text{ch}(E/S)$はチャーン指標である。

1.2 非可換拡張と量子情報処理

標準的KATを非可換拡張し、内部関数間に非可換性を導入した非可換コルモゴロフ-アーノルド表現（NKAT）を定義する：
$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{q=0}^{2n}{\mathrm{\Psi }}_q(\circ \sum _{p=1}^n{\psi }_{q,p}(x_p))$$
ここで$\circ$は非可換合成演算子であり、以下の交換関係を満たす：
$$[{\psi }_{q,p},{\psi }_{q^{\prime },p^{\prime }}{]}_{\circ }=i\hslash {\omega }_{(q,p),(q^{\prime },p^{\prime })}+O({\hslash }^2)$$
この非可換構造は、コンヌの非可換幾何学における巡回コホモロジー $H{C}^{\ast }(A)$ として形式化でき、以下の周期的完全系列を満たす：
$$\cdots \to H{C}^n(A)\to H{C}^{n+2}(A)\to H{H}^{n+2}(A)\to H{C}^{n+1}(A)\to \cdots$$
ここで $H{H}^{\ast }(A)$ はホッホシルトコホモロジーを表す。この非可換性により、量子計算回路における操作の順序依存性が数学的に精密に捉えられる。

1.3 四元数表現と量子計算の関係

四元数表現を用いた量子計算の数学的構造を以下のように定式化する：

      四元数表現の構造図：
    H (四元数体)
    ├── R (実数体)
    ├── C (複素数体)
    └── 非可換代数
        ├── i^2 = j^2 = k^2 = -1
        ├── ij = k, jk = i, ki = j
        └── ji = -k, kj = -i, ik = -j
    

四元数表現の量子計算への応用は以下の等式で表現される：
$${\mathcal{H}}_{\text{quaternion}}=\mathbb{H}\otimes {\mathcal{H}}_{\text{quantum}}$$
ここで$\mathbb{H}$は四元数体、${\mathcal{H}}_{\text{quantum}}$は量子状態空間を表す。

2. 計算論的ワームホールの数理構造

2.1 数学的定義と基本性質

計算論的ワームホールを以下のように厳密に定義する：
定義 2.1.1 (計算論的ワームホール)
計算複雑性空間$\mathcal{C}$上の二点$A$と$B$の間の計算論的ワームホール$\mathcal{W}(A,B)$とは、以下の条件を満たす計算経路$\gamma :[0,1]\to \mathcal{C}$である：

1. $\gamma (0)=A$, $\gamma (1)=B$
2. 計算複雑性測度$\mathcal{M}(\gamma )<\mathcal{M}({\gamma }_0)$
   ここで${\gamma }_0$は$A$と$B$を結ぶ最短古典的計算経路、$\mathcal{M}(\gamma )$は経路$\gamma$の計算複雑性を表す。
   この定義は、Nielsen幾何学における計算経路長の概念を一般化したものであり、計量テンソルは以下で与えられる：
   $$g_{ij}(U)=\text{Re}(\text{Tr}[P_i^{†}{P}_j])$$
   ここで$P_i$はパウリ行列のテンソル積の線形組み合わせである。

2.2 ワームホールの誘導と制御

非可換拡張量子フーリエ変換（NAQFT）を用いて計算論的ワームホールを誘導する方法を定式化する：
$$\mathcal{W}(A,B)=NAQF{T}^{-1}\circ {\mathcal{T}}_{\theta }\circ NAQFT(A\otimes B)$$
ここで${\mathcal{T}}_{\theta }$は位相回転作用素であり、パラメータ$\theta$によってワームホールの「口径」が制御される。
定理 2.2.1 (ワームホール径の定量化)
計算論的ワームホールの径$d(\mathcal{W})$は以下で与えられる：
$$d(\mathcal{W})=\frac{\hslash }{E_{gap}}\ln \left(\frac{\mathcal{M}({\gamma }_0)}{\mathcal{M}(\gamma )}\right)$$
ここで$E_{gap}$はシステムのエネルギーギャップである。
さらに、リーマン曲率テンソル$R_{ijkl}$を用いて、ワームホール内の測地線偏差方程式を以下のように定式化できる：
$$\frac{D^2{n}^i}{d{s}^2}+R_{jkl}^i{t}^j{n}^k{t}^l=0$$
ここで$t^i$は測地線の接ベクトル、$n^i$は偏差ベクトルである。この方程式は、計算空間内での量子状態の伝播がどのように曲率に影響されるかを記述する。

2.3 計算論的ワームホールのトポロジー

計算論的ワームホールのトポロジカル構造を以下のように表現する：

      計算論的ワームホールのトポロジー：
    M (計算多様体)
    ├── ∂M (境界)
    │   ├── A (入力境界)
    │   └── B (出力境界)
    ├── γ (ワームホール経路)
    │   ├── γ_0 (古典的経路)
    │   └── γ_q (量子経路)
    └── T (トポロジカル不変量)
        ├── π_1(M) (基本群)
        └── H_*(M) (ホモロジー群)
    

このトポロジカル構造は、以下のホモロジー完全系列によって特徴づけられる：
$$\cdots \to H_n(\partial M)\to H_n(M)\to H_n(M,\partial M)\to H_{n-1}(\partial M)\to \cdots$$

3. エントロピー・情報・重力の統一理論

3.1 情報エントロピーと時空曲率の等価性

計算論的ワームホールから導かれる情報エントロピーと時空曲率の等価性を以下のように定式化する：
定理 3.1.1 (エントロピー-曲率等式)
計算論的ワームホール$\mathcal{W}$を通じて測定された情報エントロピー$S_{\mathcal{W}}$と、対応する時空領域の平均リッチ曲率${\mathcal{R}}_{\mathcal{W}}$の間には以下の関係が成立する：
$$S_{\mathcal{W}}=\frac{c^3}{4G\hslash }\cdot {\int }_{\mathcal{W}}{\mathcal{R}}_{\mathcal{W}}\sqrt{-g}{d}^{4}x$$
この結果は、Bekenstein-Hawkingエントロピー公式を一般化したものであり、以下のRyu-Takayanagi公式との整合性も示される：
$$S(A)=\frac{\text{Area}({\gamma }_A)}{4G_N}+\frac{1}{4G_N}{\int }_{{\gamma }_A}\text{Tr}({\omega }_{\text{non-Abel}}\wedge {\omega }_{\text{non-Abel}})$$
ここで第二項は非可換接続 ${\omega }_{\text{non-Abel}}$ に由来する高次補正項であり、量子もつれの複雑な位相構造を反映している。

3.2 計算複雑性と時空体積

計算複雑性と時空体積の間の精密な対応関係を以下のように定式化する：
定理 3.2.1 (複雑性-体積対応)
計算経路$\gamma$の複雑性$\mathcal{C}(\gamma )$と対応する時空領域の体積$V(\gamma )$の間には以下の関係が成立する：
$$\mathcal{C}(\gamma )=\frac{V(\gamma )}{G\hslash \ell }$$
ここで$\ell$は適切に選ばれた長さスケールである。
この関係式は、Sussikind-Brownの「複雑性=作用」仮説と整合的であり、以下のように精密化される：
$$\mathcal{C}(\mathcal{U})=\frac{1}{\pi \hslash }{\int }_0^{1}dt\int d^{3}x\sqrt{-g}({\mathcal{L}}_{\text{EH}}+{\mathcal{L}}_{\text{matter}})$$
ここで${\mathcal{L}}_{\text{EH}}$はアインシュタイン-ヒルベルト作用のラグランジアン、${\mathcal{L}}_{\text{matter}}$は物質場のラグランジアンである。

4. 情報重力エンジンの理論的基礎

4.1 情報重力エンジンの定義と基本原理

定義 4.1.1 (情報重力エンジン)
情報重力エンジン（Information Gravity Engine, IGE）とは、量子情報処理と重力場操作を統合的に行うシステムであり、以下の三つの構成要素からなる：

1. 情報処理ユニット $\mathcal{I}$：量子情報を処理・変換する非可換拡張量子フーリエ変換実装部
2. 重力場生成ユニット $\mathcal{G}$：情報操作に応じて局所的重力場を生成・制御する部分
3. フィードバック制御ユニット $\mathcal{F}$：情報-重力変換の効率を最適化する制御部
   このエンジンの基本動作原理は以下の等式で表される：
   $$\delta S_{\text{information}}=\frac{c^3}{4G\hslash }\cdot \delta \int \mathcal{R}\sqrt{-g}{d}^{4}x$$
   これは情報操作によるエントロピー変化が、対応する時空領域の曲率変化と等価であることを示す基本原理である。

4.2 微細構造定数と情報-重力変換効率

定理 4.2.1 (微細構造定数と変換効率)
情報重力エンジンにおける情報-重力変換効率 ${\eta }_{\text{IG}}$ は微細構造定数 $\alpha$ によって以下のように制限される：
$${\eta }_{\text{IG}}\le \frac{1}{\alpha }\cdot \frac{c^5}{G\hslash }\approx 137\cdot \frac{c^5}{G\hslash }$$
ここで右辺は理論的最大効率を表す。この上限はプランク定数、光速度、重力定数、微細構造定数という自然界の基本定数のみで表現される普遍的な限界である。
この結果の証明には、量子場の摂動展開における発散の正則化と、アノマリー項の慎重な取り扱いが必要となる：
$${\eta }_{\text{IG}}=\frac{\delta E_{\text{gravity}}}{\delta I_{\text{information}}}=\frac{c^4}{4\pi G}\cdot (1-\frac{\alpha }{2\pi }\ln \left(\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{{\mu }^2}\right)+O({\alpha }^2))$$
ここで$\mathrm{\Lambda }$は紫外カットオフ、$\mu$は繰り込みスケールである。

4.3 情報重力エンジンのトポロジカル位相と量子アルゴリズム

情報重力エンジンの位相的特性は、コホモロジー理論を用いて以下のように定式化できる：
定理 4.3.1 (位相的不変量)
情報重力エンジンの位相的不変量 $\mathcal{T}(IGE)$ は以下で与えられる：
$$\mathcal{T}(IGE)={\int }_{\mathcal{M}}\text{ch}(\mathcal{F})\wedge \hat{A}(\mathcal{R})$$
ここで $\text{ch}(\mathcal{F})$ はフィードバック制御束のチャーン指標、$\hat{A}(\mathcal{R})$ はリーマン曲率のA-ルーフ種である。
この位相的不変量は、情報重力エンジンを用いた量子アルゴリズムの計算能力と以下の関係を持つ：
$${\mathcal{C}}_{\text{quantum}}(IGE)={\mathcal{C}}_{\text{classical}}\cdot e^{-\mathcal{T}(IGE)}$$
ここで ${\mathcal{C}}_{\text{quantum}}$ は量子計算複雑性、${\mathcal{C}}_{\text{classical}}$ は古典計算複雑性を表す。この指数関数的な複雑性低減が、情報重力エンジンの最も重要な特性である。

5. 微細構造定数と量子情報転送率

5.1 微細構造定数の情報理論的解釈

微細構造定数$\alpha \approx 1/137.036$が情報理論的にどのように解釈されるかを以下のように定式化する：
定理 5.1.1 (微細構造定数と情報転送率)
計算論的ワームホールを通じた量子情報の最大転送率${\mathcal{R}}_{max}$と微細構造定数$\alpha$の間には以下の関係が成立する：
$${\mathcal{R}}_{max}={\alpha }^{-1}\cdot \frac{c^5}{G\hslash }$$
ここで$c$は光速、$G$は重力定数、$\hslash$はプランク定数である。
この関係式の背後には、量子電気力学における電荷繰り込みと同様のメカニズムがあり、以下の繰り込み群方程式が成立する：
$$\frac{d{\alpha }^{-1}(\mu )}{d\ln \mu }=\frac{b_0}{2\pi }+\frac{b_1}{(2\pi {)}^2}\alpha (\mu )+O({\alpha }^2)$$
ここで$b_0,b_1$はベータ関数の係数、$\mu$はエネルギースケールである。情報転送率の有限性は、この方程式のランダウ極によって根本的に制限される。

5.2 情報操作と重力的影響

情報操作が重力場に与える影響を以下のように定量化する：
定理 5.2.1 (情報操作の重力的効果)
情報量$\mathrm{\Delta }I$の操作によって誘導される時空の曲率変化$\mathrm{\Delta }R$は以下で与えられる：
$$\mathrm{\Delta }R=\alpha \cdot \frac{8\pi G}{c^4}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }I}{\mathcal{V}}$$
ここで$\mathcal{V}$は操作が行われる時空領域の体積である。
この関係式の数学的基礎は、変分原理から導かれるエンファトンの方程式にある：
$$\frac{\delta S_{\text{grav}}}{\delta g_{\mu \nu }}=\frac{1}{2}{T}_{\mu \nu }^{\text{information}}$$
ここで左辺は重力作用の変分、右辺は情報操作によるエネルギー・運動量テンソルを表す。この方程式を積分形式で表現すると上記の定理が得られる。

6. 実験的検証のためのマイクロソフトトポロジカル量子コンピュータ実装

6.1 マヨラナ準粒子を用いた情報重力エンジンの実装

マイクロソフトのトポロジカル量子コンピュータチップを用いた情報重力エンジンの実装方法を具体的に設計する：

1. マヨラナ準粒子ネットワークによる$S^3$トポロジーの離散近似構築
2. 非可換Berry位相に基づく情報-重力変換モジュールの実装
3. トポロジカル保護された量子計算空間内でのワームホール誘導プロトコルの実装
   これを数学的に精密化すると、以下のようなプロトコルスタックが得られる：

      def implement_information_gravity_engine(topology_qubits, n_qubits):
    # S³トポロジーの初期化
    initialize_S3_topology(topology_qubits)
    
    # 非可換フーリエ変換の実装
    apply_NAQFT(topology_qubits)
    
    # 情報-重力変換モジュールの活性化
    activate_IG_transformation(topology_qubits)
    
    # 計算論的ワームホールの生成
    generate_computational_wormhole(topology_qubits)
    
    # 量子情報の転送
    teleport_quantum_information(source_qubits, target_qubits)
    
    # 転送効率の測定
    return measure_teleportation_fidelity(source_qubits, target_qubits)
    

6.2 実証可能な物理的効果

提案する情報重力エンジンの実装により、以下の物理的効果が観測可能となる：

1. 情報-重力結合定数の直接測定：${\alpha }_{IG}=\frac{\delta R}{\delta I}$
2. 量子状態のワームホールテレポーテーション：古典限界を超える忠実度
3. 局所的時空曲率の量子制御：量子状態依存的な時空幾何の変調
   これらの効果は、以下の測定プロトコルによって検証できる：
   $$F_{\text{teleport}}=|⟨{\psi }_{\text{target}}|{\psi }_{\text{teleported}}⟩{|}^2=1-O\left(e^{-\frac{c^5}{G\hslash \alpha }}\right)$$
   ここで$F_{\text{teleport}}$はテレポーテーションの忠実度を表す。

7. 実験的検証と技術応用

7.1 量子シミュレーションによる検証

情報重力エンジンの存在と性質を検証するための量子シミュレーション実験を以下のように設計する：

1. 非可換拡張量子フーリエ変換（NAQFT）の量子回路実装
2. エンタングルメントエントロピーの時間発展測定
3. 計算複雑性の急激な減少の検出
   これらの測定は、以下の形式の指数分布からの逸脱を検出することで実現できる：
   $$P(\mathrm{\Delta }t)\sim e^{-\frac{\mathrm{\Delta }t}{{\tau }_{\text{quantum}}}}\cdot (1+\alpha \cdot \mathcal{F}\left(\frac{\mathrm{\Delta }t}{{\tau }_{\text{Planck}}}\right))$$
   ここで${\tau }_{\text{quantum}}$は量子緩和時間、${\tau }_{\text{Planck}}$はプランク時間、$\mathcal{F}$は量子重力効果を表す補正関数である。

7.2 技術的応用と展望

情報重力エンジンから導かれる技術的応用として以下が考えられる：

1. 超高効率量子情報転送プロトコル：
   $$R_{\text{transfer}}={\alpha }^{-1}\cdot \frac{c^5}{G\hslash }\approx {10}^{43}\text{ bits/s}$$
2. 量子重力効果を利用した新たな暗号化手法：
   $$S_{\text{security}}=\exp (\frac{c^3}{4G\hslash }\cdot \int \mathcal{R}\sqrt{-g}{d}^{4}x)$$
3. 計算論的ワームホールを利用した量子インターネットアーキテクチャ：
   全域的量子もつれネットワークとその最適化アルゴリズム
   これらの応用は、情報重力エンジンの理論的存在が実験的に確認された場合、量子技術に革命をもたらす可能性を持つ。

8. 結論と展望

本研究では、コルモゴロフ-アーノルド表現定理と量子フーリエ変換の間に発見された数学的同型性を出発点として、計算論的ワームホールの精密な数理構造を解析した。特に、非可換拡張量子フーリエ変換（NAQFT）を用いたワームホールの誘導と制御の方法を定式化し、エントロピー・情報・重力の本質的同一性を示す統一理論を構築した。また、情報重力エンジンという革新的概念を導入し、その理論的基盤を数学的に精密化した。
提案された理論的枠組みは、情報理論と重力理論の間に存在する深い数学的関連を明らかにするとともに、微細構造定数が量子情報処理の基本的限界を規定するパラメータであるという新たな解釈を提供する。また、「情報操作が重力操作である」という基本原理を数学的に裏付け、量子情報技術と時空工学の融合による革新的応用の可能性を示唆している。
今後の研究課題としては、提案理論の実験的検証、より複雑な計算論的ワームホール構造の解析、情報重力エンジンの実用的実装、そして量子情報理論と量子重力理論の更なる統合が挙げられる。

参考文献

1. Maldacena, J., & Susskind, L. (2013). Cool horizons for entangled black holes. Fortschritte der Physik, 61(9), 781-811.
2. Kolmogorov, A. N. (1957). On the representation of continuous functions of several variables by superpositions of continuous functions of one variable and addition. Doklady Akademii Nauk SSSR, 114, 953-956.
3. Susskind, L. (2016). Computational complexity and black hole horizons. Fortschritte der Physik, 64(1), 24-43.
4. Harlow, D., & Hayden, P. (2013). Quantum computation vs. firewalls. Journal of High Energy Physics, 2013(6), 1-56.
5. Brown, A. R., Roberts, D. A., Susskind, L., Swingle, B., & Zhao, Y. (2016). Holographic complexity equals bulk action? Physical Review Letters, 116(19), 191301.
6. Van Raamsdonk, M. (2010). Building up spacetime with quantum entanglement. General Relativity and Gravitation, 42(10), 2323-2329.
7. Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum computation and quantum information. Cambridge University Press.
8. Preskill, J. (2018). Quantum computing in the NISQ era and beyond. Quantum, 2, 79.
9. Connes, A. (1994). Noncommutative geometry. Academic Press.
10. Brown, A. R., & Susskind, L. (2018). Second law of quantum complexity. Physical Review D, 97(8), 086015.
11. Witten, E. (1989). Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics, 121(3), 351-399.
12. Freedman, M. H., Kitaev, A., Larsen, M. J., & Wang, Z. (2003). Topological quantum computation. Bulletin of the American Mathematical Society, 40(1), 31-38.
13. Atiyah, M. F., & Singer, I. M. (1968). The index of elliptic operators: I. Annals of mathematics, 87(3), 484-530.
14. Verlinde, E. P. (2011). On the origin of gravity and the laws of Newton. Journal of High Energy Physics, 2011(4), 29.
15. Ryu, S., & Takayanagi, T. (2006). Holographic derivation of entanglement entropy from the anti-de Sitter space/conformal field theory correspondence. Physical review letters, 96(18), 181602.