Askey-Wilson関数

$x:=\cos\theta$とする. Askey-Wilson多項式は
\begin{align} p_n(x;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q \end{align}
によって定義される多項式である. 今回はこれを$n$に関して連続に拡張したAskey-Wilson関数を導入する.

\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;x):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}x \end{align}
とする.

${}_8\phi_7$の二項変換公式
\begin{align} &W\left(a;b,c,d,e,f;\frac{a^2q}{bcdef}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_{\infty}}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_{\infty}}W\left(w;wb/a,wc/a,wd/a,e,f;\frac{aq}{ef}\right)\qquad w=a^2q/bcd \end{align}
を用いると,
\begin{align} &W\left(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda};\frac{zq}a\right)\\ &=\frac{(bcd/z,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(bcdz,q^{1-\lambda}/z;q)_{\lambda}}W\left(bcdz/q;bz,cz,dz,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda};\frac{q}{az}\right) \end{align}
となるので,
\begin{align} R_{\lambda}(z;a,b,c,d)&=\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,bcdz;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W\left(bcdz/q;bz,cz,dz,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda};\frac{q}{az}\right) \end{align}
となる. これは$R_{\lambda}(z;a,b,c,d)=R_{\lambda}(z^{-1};a,b,c,d)$であることを意味する.
$z=e^{i\theta},\lambda=n$とすると, Watsonの変換公式 より
\begin{align} &W\left(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{n-1},q^{-n};\frac{zq}a\right)\\ &=\frac{(bcd/z,q^{1-n}/ad;q)_n}{(q^{1-n}/az,bc;q)_n}\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},d/z,dz}{ad,bd,cd}q\\ &=\frac{(bcd/z,q^{1-n}/ad;q)_n}{(q^{1-n}/az,bc,ad,bd,cd;q)_n}d^np_n(x;a,b,c,d|q) \end{align}
であるから,
\begin{align} R_{n}(z;a,b,c,d)&=\frac{(a^2,q^{1-n}/az;q)_n}{(q^{1-n}/a^2,bcd/z;q)_{n}}a^{-n}\\ &\qquad\cdot\frac{(bcd/z,q^{1-n}/ad;q)_n}{(q^{1-n}/az,bc,ad,bd,cd;q)_n}d^np_n(x;a,b,c,d|q)\\ &=\frac{1}{(bc,bd,cd;q)_n}p_n(x;a,b,c,d|q) \end{align}
となる. よって, 定数倍を除いてAskey-Wilson多項式に一致する.

$R_{\lambda}$と$S_{\lambda}$の間の関係式

次に, Baileyの3項変換公式 を用いると,
\begin{align} &W(bcz^2q^{\lambda};bz,cz,zq/a,zq/d,bcq^{\lambda};adq^{\lambda})\\ &=\frac{(bcz^2q^{\lambda+1},acq^{\lambda},abq^{\lambda},q^{\lambda+1},bd,cd,1/z^2,bc;q)_{\infty}}{(abczq^{\lambda},czq^{\lambda+1},bzq^{\lambda+1},aq^{\lambda}/z,d/z,bcdz,b/z,c/z;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W\left(bcdz/q;dz,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda},bz,cz;\frac{q}{az}\right)\\ &\qquad+\frac{(bcz^2q^{\lambda+1},q/z^2,bcdq^{\lambda}/z,abcq^{\lambda}/z,cq^{\lambda+1}/z,bq^{\lambda+1}/z,zq/a,bz,cz,dz,q^{-\lambda}/az,azq^{\lambda+1};q)_{\infty}}{(z^2q,bcdzq^{\lambda},abczq^{\lambda},czq^{\lambda+1},bzq^{\lambda+1},q/az,b/z,c/z,zq^{-\lambda}/a,aq^{\lambda+1}/z,d/z,bcq^{\lambda+1}/z^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bcq^{\lambda}/z^2;b/z,c/z,q/az,q/dz,bcq^{\lambda};adq^{\lambda})\\ &=\frac{(bcz^2q^{\lambda+1},acq^{\lambda},abq^{\lambda},q^{\lambda+1},bc,bd,cd,1/z^2;q)_{\infty}}{(abczq^{\lambda},bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},aq^{\lambda}/z,bcdz,b/z,c/z,d/z;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \frac{(q^{1-\lambda}/a^2,bcdz;q)_{\lambda}}{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}a^{\lambda}R_{\lambda}(z;a,b,c,d)\\ &\qquad+\frac{(bcz^2q^{\lambda+1},q/z^2,bcdq^{\lambda}/z,abcq^{\lambda}/z,bq^{\lambda+1}/z,cq^{\lambda+1}/z,zq/a,bz,cz,dz,q^{-\lambda}/az,azq^{\lambda+1};q)_{\infty}}{(z^2q,bcdzq^{\lambda},abczq^{\lambda},bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},q/az,b/z,c/z,d/z,zq^{-\lambda}/a,aq^{\lambda+1}/z,bcq^{\lambda+1}/z^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bcq^{\lambda}/z^2;b/z,c/z,q/az,q/dz,bcq^{\lambda};adq^{\lambda}) \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &R_{\lambda}(z;a,b,c,d)\\ &=\frac{(abczq^{\lambda},bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},aq^{\lambda}/z,bcdz,b/z,c/z,d/z;q)_{\infty}}{(bcz^2q^{\lambda+1},acq^{\lambda},abq^{\lambda},q^{\lambda+1},bc,bd,cd,1/z^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,bcdz;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}W(bcz^2q^{\lambda};bz,cz,zq/a,zq/d,bcq^{\lambda};adq^{\lambda})\\ &\qquad-\frac{(abczq^{\lambda},bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},aq^{\lambda}/z,bcdz,b/z,c/z,d/z;q)_{\infty}}{(bcz^2q^{\lambda+1},acq^{\lambda},abq^{\lambda},q^{\lambda+1},bc,bd,cd,1/z^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,bcdz;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot\frac{(bcz^2q^{\lambda+1},q/z^2,bcdq^{\lambda}/z,abcq^{\lambda}/z,bq^{\lambda+1}/z,cq^{\lambda+1}/z,zq/a,bz,cz,dz,q^{-\lambda}/az,azq^{\lambda+1};q)_{\infty}}{(z^2q,bcdzq^{\lambda},abczq^{\lambda},bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},q/az,b/z,c/z,d/z,zq^{-\lambda}/a,aq^{\lambda+1}/z,bcq^{\lambda+1}/z^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bcq^{\lambda}/z^2;b/z,c/z,q/az,q/dz,bcq^{\lambda};adq^{\lambda})\\ &=\frac{(abczq^{\lambda},bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},bcdzq^{\lambda},a/z,b/z,c/z,d/z;q)_{\infty}}{(bcz^2q^{\lambda+1},acq^{\lambda},abq^{\lambda},q^{\lambda+1},bc,bd,cd,1/z^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}W(bcz^2q^{\lambda};bz,cz,zq/a,zq/d,bcq^{\lambda};adq^{\lambda})\\ &\qquad-\frac{(q/z^2,bcdq^{\lambda}/z,abcq^{\lambda}/z,bq^{\lambda+1}/z,cq^{\lambda+1}/z,aq^{\lambda}/z,zq^{1-\lambda}/a,bz,cz,dz,q^{-\lambda}/az,azq^{\lambda+1};q)_{\infty}}{(acq^{\lambda},abq^{\lambda},q^{\lambda+1},bc,bd,cd,1/z^2,z^2q,q/az,zq^{-\lambda}/a,aq^{\lambda+1}/z,bcq^{\lambda+1}/z^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \frac{(a^2;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}W(bcq^{\lambda}/z^2;b/z,c/z,q/az,q/dz,bcq^{\lambda};adq^{\lambda})\\ &=S_{\lambda}(z;a,b,c,d)\\ &\qquad-\frac{(z^2,q/z^2,aq^{\lambda}/z,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\infty}}{(az,1/z^2,z^2q,q/az,zq^{-\lambda}/a,aq^{\lambda+1}/z;q)_{\infty}}\frac{(az;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/az;q)_{\lambda}}S_{\lambda}(z^{-1};a,b,c,d)\\ &=S_{\lambda}(z;a,b,c,d)-azq^{\lambda}\frac{(q^{-\lambda}/az,azq^{\lambda+1};q)_{\infty}}{(az,q/az;q)_{\infty}}\frac{(az;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/az;q)_{\lambda}}S_{\lambda}(z^{-1};a,b,c,d)\\ &=S_{\lambda}(z;a,b,c,d)+S_{\lambda}(z^{-1};a,b,c,d) \end{align}
となる. つまり以下が得られた.

$x:=\cos\theta$として,
\begin{align} r_{\lambda}(x;a,b,c,d)&:=R_{\lambda}(e^{i\theta};a,b,c,d)\\ s_{\lambda}(x;a,b,c,d)&:=i(S_{\lambda}(e^{i\theta};a,b,c,d)-S_{\lambda}(e^{-i\theta};a,b,c,d)) \end{align}
と別の関数の組を定義すると, これらはパラメータが実数のときは実関数になるという利点がある. 今回導入したAskey-Wilson関数が満たす様々な性質に関しては, 今後学んでいきたいと思う.