n>4に対してnP_5は平方数になるか

$n\ge 2$と$r\ge 1$に対し$(n+r{)}^2-n^2=2nr+r^2\ge 4+1=5$

$n,n-1,n-2,n-3,n-4$は$2,3$以外の共通の素因数を持たないので、${}_n{\mathrm{P}}_5=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$が平方数になった場合、互いに素な$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$により
$$n=2^{a_1}{3}^{b_1}{A}_1^2,$$
$$n+1=2^{a_2}{3}^{b_2}{A}_2^2,$$
$$n+2=2^{a_3}{3}^{b_3}{A}_3^2,$$
$$n+3=2^{a_4}{3}^{b_4}{A}_4^2,$$
$$n+4=2^{a_5}{3}^{b_5}{A}_5^2$$
と書ける。

[$a_1=a_3=a_5=0$の場合]
($b_3\ge 1$のとき)
$b_1=b_5=0$となるので、$n=A_1^2$と$n+4=A_5^2$は共に平方数になるが、これは補題1に反する。
($b_3=0$のとき)
$n+2=A_3^2$ は平方数になる。また、$b_1$と$b_5$のどちらかは$0$になるため、$n$と$n+4$のどちらかは平方数になり、補題1に反する。

[$a_2=a_4=0$の場合]
$b_2$と$b_4$が共に$0$の場合、$n+1$と$n+3$が共に平方数になり、補題1に反する。一方で共に$1$以上ということもないので片方だけが$0$となる。
$b_2=0$としたとき、$n+1$は平方数で$n+3$は$3$の倍数、よって$n$も$3$の倍数となる。
また、積が平方数になるという仮定から$a_1+a_3+a_5$は偶数になるため、$a_1,a_3,a_5$はすべて偶数か、１つだけが偶数である。全て偶数の場合は$n+2,n+4$の両方が平方数になるため補題1に反する。従って1つだけが偶数である。$a_3$か$a_5$が偶数の場合、$n+2$か$n+4$のいずれかが平方数になり、$n+1$が平方数であることから補題1に反する。よって$a_1$が偶数で$a_3$と$a_5$が奇数となる。すなわち、1以上の整数$m$を用いて$a_3=1,a_5=2m+1$と書ける。このとき$n+2=2A_3^2,n+4=2^{2m+1}{A}_5^2$となり、$2(A_3^2+1)=2(2^m{A}_5{)}^2$、よって$A_3^2+1=(2^m{A}_5{)}^2$となって補題1に反する。
$b_4=0$の場合も同様の議論により、命題が示される。