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素数の逆数の和は発散する

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p1,p2,を, 素数を小さい順に並べたものとする.

i11pi=.

i11/pi<であるとする. すると, ある正整数kが存在してik1/pi<1/2となる. p1,p2,,pk1を小さい素数, pk,pk+1,を大きい素数と呼ぶことにする.
Nを任意の正整数とする. このとき
ikNpi<Npi
が成り立つ. NbN以下の正整数のうち少なくとも1つの大きい素数を素因数にもつものの個数, NsN以下の正整数のうち小さい素数しか素因数に持たないものの個数とする. Nを適当にとれば
(1)Nb+Ns<N
となることを示す.
素数pに対しN/pN以下のpの正の倍数の個数だから
(2)NbikNpi<N2
が成り立つ.
nN以下の正整数とし, n=ab2と正整数の積で表す. ただし, aが平方因子を持たないようにする. すると, nN以下の正整数を動くときa2k通り, bは高々N通りの値をとるから
Ns2kN
が成り立つ. 不等式 (2) は任意のNに対して成り立つから, N=22k+2とすれば2k1NとなってNsN/2となり, 不等式 (1) を満たす. しかし, これはNb,Nsの定義により矛盾である.

投稿日:20241129
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Anko7919
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