であるとする. すると, ある正整数が存在してとなる. を小さい素数, を大きい素数と呼ぶことにする.
を任意の正整数とする. このとき
が成り立つ. を以下の正整数のうち少なくとも1つの大きい素数を素因数にもつものの個数, を以下の正整数のうち小さい素数しか素因数に持たないものの個数とする. を適当にとれば
となることを示す.
素数に対しは以下のの正の倍数の個数だから
が成り立つ.
を以下の正整数とし, と正整数の積で表す. ただし, が平方因子を持たないようにする. すると, が以下の正整数を動くときは通り, は高々通りの値をとるから
が成り立つ. 不等式 (2) は任意のに対して成り立つから, とすればとなってとなり, 不等式 (1) を満たす. しかし, これはの定義により矛盾である.