素数計数関数の恒等式の反転　前編

はじめに

　pridでは、2以上の実数$N$に対する素数計数関数の恒等式
\begin{equation} \lfloor N \rfloor-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \eta_{\ell m}\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr),　\eta_{\ell m}=\frac{1}{\Omega(m)+\ell},　 \end{equation}
を導きました。今回はこれを$\pi(N)$について解きます。
具体的には、$\pi(N)=\bigl(\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \bigr\rfloor -1)$の線形和の形に変えることを目指します。
先に結果を見せると
\begin{equation} \pi(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \mu_{\ell m} \Bigl( \Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr),　 \end{equation}
となり、ここで$\mu_{\ell m}$は
\begin{equation} \sum_{d' | \ell}\sum_{d | m}\mu_{d'd}\eta_{\frac{\ell}{d'},\sqrt[d']\frac{m}{d}}= \begin{cases} 1 & \text{if $(\ell,m)=(1,1)$,} \\ 0 & \text{otherwise,} \end{cases} \end{equation}
を満たします。$\mu_{\ell m}$の満たすべき条件式を証明し、それを応用して展開係数$\eta_{\ell m}$が1となるものの反転係数を、具体的に求めてみます。
展開係数が$\eta_{\ell m}=1$の場合、反転係数$\mu_{\ell m}$は
\begin{equation} \mu_{\ell m}= \begin{cases} \mu(m) & \text{if $\ell=1$,} \\ \mu(\ell) & \text{if $m=1$,} \\ 0 & \text{otherwise,} \end{cases} \end{equation}
となります。ここで、$\ell,m$は自然数、$\mu(n)$はメビウス関数です。
　最後に、素数計数関数の恒等式の反転係数を具体的に求めます。

反転係数について

　まず素数計数関数の恒等式が反転できるか確認します。

　このように反転式を構成すると、$\pi(N)$について
\begin{equation} \pi(N)=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \mu_{\ell m} \Bigl( \Bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr\rfloor -1\Bigr),　 \end{equation}
と書くことが出来ます。ここで$\mu_{\ell m}$は反転式の$\bigl\lfloor\sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor-1$の係数と定義し、以降は反転係数と呼ぶことにします。
　次に、反転係数$\mu_{\ell m}$を計算するため、$\mu_{\ell m}$が満たすべき条件式を証明します。

　反転係数の満たすべき条件式を導出する過程で、反転係数$\mu_{\ell m}$の計算方法も導きました。
これで機械的に計算することが可能です。
　次に、反転式を反転させれば元の式に戻ることが予想されます。そこで、次の予想が成り立ちます。

　条件式は$\eta$と$\mu$に関して対称的でないのに、経験的に$\eta'_{\ell m}=\eta_{\ell m}$が成り立つと予想されます。
仮に$\lfloor N \rfloor -1$の$\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$による展開係数$\eta_{\ell m}$が一意に決まれば、これは成り立ちます。
しかし、どちらの証明も出来ていないため、予想に留めています。
　これまでの$\lfloor N \rfloor -1$の$\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$の展開係数$\eta_{\ell m}$に関する議論では、構造のみが重要で、
$\lfloor N \rfloor -1$や$\pi(N)$の性質をほとんど使っていません($N$が2未満で0になる性質や$\eta_{11}=\mu_{11}=1$)。
　そのため、ある数論的関数$f(N),g(N)$に対し、$f(N)$が$g\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$で展開されているとします。
展開係数を$\eta_{\ell m}$、その反転係数を$\mu_{\ell m}$とすれば、定理2が成り立ちます。
　以降は反転係数の満たす条件式から、実際に反転係数を計算してみます。

基礎的な反転係数を求める

　pridの他の数論的関数との繋がりにおいて、別の恒等式の$\eta_{\ell m}$を求めました。構造が同じなので、定理2を利用できます。
$\eta_{\ell m}$が1となるような場合の反転係数を求めてみましょう。
　準備として、具体的な$\eta_{\ell m}$と恒等式を再掲します。
\begin{align} \displaystyle\sum_{n=2}^N\Omega(n)&=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\eta_{\ell m}\pi\Bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr),\quad \eta_{\ell m}=1, \\ \displaystyle\sum_{n=2}^N\omega(n)&=\displaystyle \sum_{m=1}^{\lfloor N/2 \rfloor}\eta_{1m}\pi(N/m),\quad \eta_{1m}=1, \end{align}
ここで、$\Omega(n)$は与えられた自然数$n$の重複を含めた素因数の個数を返し、$\omega(n)$は相異なる素因数の個数を返します。
新たに次のような関数を考えます。
\begin{equation} a(n)= \begin{cases} 1 & \text{if $n=p^k$ \;($p$:prime, $ k\ge 1$)}, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases} \end{equation}
$a(n)$は与えられた自然数$n$が素数の累乗で+1、それ以外で0を返します。証明は省きますが、$a(n)$の2から$N$まで総和は
\begin{equation} \sum_{n=2}^N a(n)=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N}\rfloor}\eta_{\ell 1}\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr), \quad \eta_{\ell 1}=1, \end{equation}
と書くことが出来ます。それぞれの展開係数$\eta_{\ell m}$を示せたので、具体的に計算していきます。

　3つの展開係数について反転係数を求めました。これらの結果から、$\eta_{\ell m}$が1の場合、反転係数はメビウス関数で表せます。
すなわち恒等式の反転がメビウス反転の拡張であることが分かります。
また例1、例2は例3の一部であり、どちらの反転係数も例3の反転係数の一部となっています。
1行(列)目だけ抜き出して反転させたものは、全体を反転させたものの1行(列)目と同じになることも確かめられました。

素数計数関数の恒等式の反転係数

　この節では素数計数関数の恒等式を反転させます。
しかし前節のように単純に求められないため、はじめに1行(列)目のみを抜き出して反転させます。　
　準備として、具体的な$\eta_{\ell m}$と恒等式を再掲します。
\begin{equation} \lfloor N \rfloor-1=\displaystyle \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor} \eta_{\ell m}\pi \Bigl( \sqrt[\ell]{N/m} \Bigr),　\eta_{\ell m}=\frac{1}{\Omega(m)+\ell},　 \end{equation}
\begin{equation} \displaystyle\sum_{n=2}^N \frac{\omega(n)}{\Omega(n)}= \sum_{m=1}^{\lfloor N/2 \rfloor} \eta_{1 m}\pi(N/m),　\eta_{1 m}=\frac{1}{\Omega(m)+1},　 \end{equation}
ここで、第2式はpridで導きました。
新たに、Riemannのリーマンの導入した補助関数
\begin{equation} J(N)\equiv\sum_{k\ge1}\frac1k \pi\bigl(\sqrt[k]{N}\bigr) \end{equation}
について考えます。$\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$での展開と見ると
\begin{equation} J(N)= \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor} \eta_{\ell1 }\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr),　\eta_{\ell 1}=\frac{1}{\Omega(1)+\ell},　 \end{equation}
となります。下2つの展開係数が、$\lfloor N \rfloor -1$の展開係数を1行(列)目だけ抜き出したものになります。
$\eta_{\ell m}$を書き下せたため、具体的に反転係数を求めます。

　この結果から1行(列)目を抜き出した反転係数は、全体の反転係数の1行(列)目と一致していることが確認できます。
また反転係数$\mu_{\ell m}$は、$m$の素因数分解の形に依存しています。
　私達は$\pi(N)$を$\mu_{\ell m}\bigl(\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor-1\bigr)$で展開した、具体的な表式を得ました。
$N$が素数のとき+1、それ以外で0となるよう反転係数$\mu_{\ell m}$は定められています。
そのため、$\mu_{\ell m}$は自然数$N$の素因数分解の形に関する情報を含んでいます。
逆に反転係数$\mu_{\ell m}$が分かっていれば、$N$程度の項の計算で$\pi(N)$の値を求めることが出来ます。
　元々の素数計数関数の恒等式では、展開係数が$\eta_{\ell m}=1/(\Omega(m)+\ell)$と統一的に書けていましたが、展開要素の$\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$の振る舞いが複雑でした。
一方で、反転した式では、展開要素が$\bigl\lfloor \sqrt[\ell]{N/m}\bigr\rfloor-1$と簡単になりましたが、展開係数$\mu_{\ell m}$が複雑になっています。
すなわち反転させることで、素数の複雑性を展開要素から展開係数へ移したと捉えられます。

おわりに

　まず反転式を構成し、反転係数の満たすべき条件式を導出しました。それを用いて、$\eta_{\ell m}$が1となるような場合の反転係数を求めました。
結果はメビウス関数を使って書くことができ、1行(列)目を抜き出して反転させたものが、全体を反転させたものの1行(列)目と一致することも確認しました。
最後に、その性質も用いて素数計数関数の恒等式を反転させ、反転係数$\mu_{\ell m}$を機械的に計算しました。
展開係数が自然数$N$の素因数分解の形の情報を含んでおり、反転によって素数の複雑性を展開要素$\pi\bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\bigr)$から移されたと捉えました。
　後編では、素数計数関数の恒等式の反転係数$\mu_{1m}$が第1,2種ベルヌーイ数と関係し線形和で表せることや、prid-exの$s$乗に一般化した恒等式の反転係数について書く予定です。