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行列の極分解

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極分解について書こうと思います.

正則行列の場合

$n$ 次のユニタリ行列全体の集合を $U (n)$ と表す.

$n$ 次の行列 $M$ が正定値であるとは, $M$ がエルミートで, 任意の $x \in C^{n}$ に対して $x \neq 0$ ならば $x^{*} M x > 0$ が成り立つことをいい, $M > 0$ で表す.
$n$ 次の行列 $M$ が半正定値であるとは, $M$ がエルミートで, 任意の $x \in C^{n}$ に対して $x^{*} M x \geq 0$ が成り立つことをいい, $M \geq 0$ で表す.
また, $n$ 次の正定値, 半正定値行列全体の集合を(この記事では)それぞれ $M_{n, > 0} (C)$ , $M_{n, \geq 0} (C)$ と表す.

極分解(正則行列)

$A \in {GL}_{n} (C)$ に対し, $U \in U (n)$ , $P \in M_{n, > 0} (C)$ が一意に存在して $A = U P$ が成り立つ.

$A \in M_{k, \geq 0} (C)$ に対し, $P \in M_{k, \geq 0} (C)$ が一意に存在して $A = P^{2}$ が成り立つ.

補題の証明(タップすると展開されます)

$A$ は半正定値行列なので実数 $a_{1} \geq \dots \geq a_{k} \geq 0$ およびユニタリ行列 $U$ を用いて
$A = U^{*} diag (a_{1}, \dots, a_{k}) U$
と対角化できる.
$P = U^{*} diag (\sqrt{a_{1}}, \dots, \sqrt{a_{k}}) U$ とおくと, $P \geq 0$ であり $P^{2} = A$ をみたす.
これより, $P$ の存在が示された.

行列 $P^{'} \geq 0$ が $(P^{'})^{2} = A$ をみたすとき $P = P^{'}$ であることを示す.
$α$ を $P^{'}$ の固有値とすると $α^{2}$ は $A$ の固有値であり, $α \geq 0$ より, $α$ は $P$ の固有値である.
行列 $P$ , $P^{'}$ の固有値 $α$ の固有空間をそれぞれ $V_{α}$ , $V_{α}^{'}$ と表す.

$α \neq 0$ のとき, $x \in V_{α}^{'}$ に対して $P^{2} x = (P^{'})^{2} x = α^{2} x$ であるため, $(P + α) x \in V_{α}$ である.
$V_{α} \to V_{α}; x \mapsto (P + α) x$ は全単射で, $P + α$ は可逆行列なので $x \in V_{α}$ となる.
これより, $V_{α}^{'} \subset V_{α}$ である.

$α = 0$ のとき, $P x = 0 ⟺ x^{*} P^{*} P x = 0 ⟺ P^{'} x = 0$ なので $V_{α}^{'} = V_{α}$ である.

したがって, $P^{'}$ の任意の固有値 $α$ に対して $P^{'} |_{V_{α}^{'}} = P |_{V_{α}^{'}}$ がわかる.
$C^{k} = V_{a_{1}}^{'} + \dots + V_{a_{k}}^{'}$ なので $P^{'} = P$ となり, $P$ の一意性が示された. $◻$

まずは存在を示す.
補題2を用いて, $A^{*} A = P^{2}$ となるように $P \in M_{n, \geq 0} (C)$ を定める.
このとき, $A \in {GL}_{n} (C)$ なので $P > 0$ である.
$P$ は正則なので $U = A P^{- 1}$ と定めることができ, $U^{*} U = P^{- 1} A^{*} A P^{- 1} = P^{- 1} P^{2} P^{- 1} = {id}_{n}$ であるため $U$ はユニタリ行列である
さらに, $A = U P$ も成り立っている.

続いて, 一意性を示す.
$A = U P$ となっているとき $A^{*} A = P^{*} U^{*} U P = P^{2}$ なので, 補題2により, $P$ は一意である.
$A$ は正則なので $P$ も正則で, $U = A P^{- 1}$ は一意である.

一般の行列の場合

$U \in M_{n, k} (C)$ が $U^{*} U = {id}_{k}$ をみたすとき, $U$ を等長行列という.
$V \in M_{n, k} (C)$ が $V V^{*} V = V$ をみたすとき, $V$ を部分等長行列という.
等長行列であるような $n \times k$ 行列全体の集合をこの記事では $U (n, k)$ と書く.

$A \in M_{n, k} (C)$ に対し, 部分等長行列 $V \in M_{n, k} (C)$ , 半正定値行列 $P \in M_{k, \geq 0} (C)$ が一意に存在して次の $2$ 条件が成り立つ.

$A = V P$
$Im (V^{*}) = Im (P)$

また, このとき

V

は

Im (V) = Im (A)

をみたす.

まずは存在を示す.
補題2を用いて, $A^{*} A = P^{2}$ となるように $P \in M_{k, \geq 0} (C)$ を定める.
$x \in C^{k}$ に対し, $A x = 0 ⟺ x^{*} A^{*} A x = 0 ⟺ P x = 0$ であるため, 線型写像 $V_{1}$ を
$V_{1} : Im (P) \to Im (A); P x \mapsto A x$
により定めることができる.
また, $V_{2} : Im (P)^{⊥} \to 0$ とし, $V : C^{k} \to C^{n}$ を $V = V_{1} \oplus V_{2}$ により定める.

このとき, $V$ の構成から $A = V P$ および $Im (V) = Im (A)$ が成り立つ.

$x, y \in C^{k}$ に対し,
$⟨ V^{*} A x, P y ⟩ = ⟨ x, A^{*} V P y ⟩ = ⟨ x, A^{*} A y ⟩ = ⟨ P x, P y ⟩$
が成り立つ.
また, $x \in C^{k}$ , $y \in Im (P)^{⊥}$ に対し,
$⟨ V^{*} A x, y ⟩ = ⟨ A x, V y ⟩ = ⟨ A x, 0 ⟩ = 0 = ⟨ P x, y ⟩$
が成り立つ.
以上をあわせると, 任意の $y \in C^{n}$ に対して $⟨ V^{*} A x, y ⟩ = ⟨ P x, y ⟩$ となるので
$V^{*} A x = P x$
である.
このことから, $V \circ V^{*} |_{Im (A)}$ は $A x \mapsto P x \mapsto A x$ となるので $V \circ V^{*} |_{Im (A)} = {id}_{Im (A)}$ であり, $V V^{*} V = V$ が得られる.
したがって, $V$ は部分等長行列である.

次に, 一意性を示す.
まずは $P$ の一意性を示す.
$V V^{*} V = V$ の共役転置をとると $V^{*} V V^{*} = V^{*}$ となるので $V^{*} V |_{Im (V^{*})} = {id}_{Im (V^{*})}$ である.
これより, $A^{*} A = P^{*} V^{*} V P = P^{2}$ であるため, 補題2より $P$ の一意性が示された.

つづいて $V$ の一意性を示す.
部分等長行列 $V^{'}$ が $V^{'} P = V P = A$ および $Im ((V^{'})^{*}) = Im (V^{*}) = Im (P)$ をみたしたと仮定する.
このとき, $V P = V^{'} P$ なので $V |_{Im (P)} = V^{'} |_{Im (P)}$ である.
また, $x \in Im (P)^{⊥}$ , $y \in C^{n}$ に対して $⟨ V^{'} x, y ⟩ = ⟨ x, (V^{'})^{*} y ⟩ = 0$ なので $V^{'} |_{Im (P)^{⊥}} = 0 = V |_{Im (P)^{⊥}}$ であり, $V = V^{'}$ が示された.

極分解(一般の行列)

$n \geq k$ とする.
$A \in M_{n, k} (C)$ に対し, 等長行列 $U \in M_{n, k} (C)$ , 半正定値行列 $P \in M_{k, \geq 0} (C)$ が存在して $A = U P$ が成り立つ.
また, 上の条件をみたす組 $(U, P)$ 全体の集合は補題3の $V$ , $P_{0}$ を用いて ${U \in U (n, k) ∣ U |_{Im (P_{0})} = V |_{Im (P_{0})}} \times {P_{0}}$ と表せる.

後半の主張を示す.
$S = {U \in U (n, k) ∣ U |_{Im (P_{0})} = V |_{Im (P_{0})}} \times {P_{0}}$ とおく.
$(U, P) \in S$ ならば $A = U P$ であることは明らかである.
$A = U P$ のとき, $A^{*} A = P^{*} U^{*} U P = P^{2}$ なので $P = P_{0}$ である.
また, $A = U P_{0} = V P_{0}$ なので $U |_{Im (P_{0})} = V |_{Im (P_{0})}$ が従い, $(U, P) \in S$ が示された.

前半の主張を示す.
${U \in U (n, k) ∣ U |_{Im (P_{0})} = V |_{Im (P_{0})}}$ が空でないことを示せばよい.
$Im (P_{0})^{⊥}$ の正規直交基底 $x_{1}, \dots, x_{m}$ をひとつとる.
$n \geq k$ なので, $Im (V)^{⊥}$ の元 $y_{1}, \dots, y_{m}$ であって $⟨ y_{i}, y_{j} ⟩ = δ_{i, j}$ をみたすものが存在する.
$U |_{Im (P_{0})} = V |_{Im (P_{0})}$ , $U x_{i} = y_{i}$ となるように $U$ を定めることができ, このとき $U^{*} U = {id}_{k}$ が成り立つため, ${U \in U (n, k) ∣ U |_{Im (P_{0})} = V |_{Im (P_{0})}}$ は空でない.