お気に入りの級数解説(2)

この記事では, 私が最近得た, 以下の級数について軽く解説しようと思います.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n}) H_{n}^{2}}{2^{2 n} (n + 1)} = π^{2} + 4 \log^{2} 2

先に言っておきますと, 普段ならこうしてきちんと級数を書くときには, WolframAlphaで大体の値が一致していることを確かめてから書くのですが, この級数は $\frac{\log^{2} n}{n \sqrt{n}}$ くらいの大きさですので収束がとても遅く, $4000$ 項ほど足してもまだ増え続けて, $1$ の位すら合いませんでした... たぶん $100000$ 項くらい足すと $2$ 桁くらい合わせられそうです...

ですので, もしかしたら間違っているかもしれないことだけ, ご理解よろしくお願いします.

私の少し前の記事「調和数付き級数のお話」の続きとしてお話させていただきます.

まず, 重要な式をいくつか書きます.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{Γ (n + α)}{Γ (n + β)} H_{n} z^{n} = - \frac{1}{Γ (β - α)} \int_{0}^{1} x^{α - 1} (1 - x)^{β - α - 1} \frac{\log (1 - z x)}{1 - z x} d x$

$z = 1$ として

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{Γ (n + α)}{Γ (n + β)} H_{n} = (ψ (β - 1) - ψ (β - α - 1)) \frac{Γ (α) Γ (β - α - 1)}{Γ (β - α) Γ (β - 1)}$

そういえばこの式, $_{2} F_{1}$ 超幾何関数の微分になっています. 導き方も似ているので確かにと思いますよね.

$α = \frac{1}{2}, β = 2$ として

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n}) H_{n}}{2^{2 n} (n + 1)} = 4 \log 2$

両辺を $β$ で微分してから $α = \frac{1}{2}, β = 2$ として

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n}) H_{n} H_{n + 1}}{2^{2 n} (n + 1)} = \frac{2}{3} π^{2} + 8 \log 2$

今回は, これらのうち一番上の式を, 前回と少し違う方法で変形してみます.

両辺を $z : 0 \to 1$ と積分することで,

$\begin{array}{rcl} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{Γ (n + α)}{Γ (n + β)} \frac{H_{n}}{n + 1} & = & - \frac{1}{Γ (β - α)} \int_{0}^{1} x^{α - 1} (1 - x)^{β - α - 1} \int_{0}^{1} \frac{\log (1 - z x)}{1 - z x} d z d x \\ = & \frac{1}{2 Γ (β - α)} \int_{0}^{1} x^{α - 2} (1 - x)^{β - α - 1} \log^{2} (1 - x) d x \\ = & \frac{1}{2 Γ (β - α)} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} B (x, y) |_{(x, y) = (α - 1, β - α)} \end{array}$