お気に入りの級数解説(2)

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この記事では, 私が最近得た, 以下の級数について軽く解説しようと思います.

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先に言っておきますと, 普段ならこうしてきちんと級数を書くときには, WolframAlphaで大体の値が一致していることを確かめてから書くのですが, この級数は$\frac{\log^2n}{n\sqrt{n}}$くらいの大きさですので収束がとても遅く, $4000$項ほど足してもまだ増え続けて, $1$の位すら合いませんでした... たぶん$100000$項くらい足すと$2$桁くらい合わせられそうです...

ですので, もしかしたら間違っているかもしれないことだけ, ご理解よろしくお願いします.
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私の少し前の記事「調和数付き級数のお話」の続きとしてお話させていただきます.
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まず, 重要な式をいくつか書きます.

$$ \sumn{0}\frac{\Gamma(n+\a)}{\Gamma(n+\b)}H_nz^n=-\frac1{\Gamma(\b-\a)}\int_0^1x^{\a-1}(1-x)^{\b-\a-1}\frac{\log(1-zx)}{1-zx}\,dx$$

$z=1$として

$$ \sumn{0}\frac{\Gamma(n+\a)}{\Gamma(n+\b)}H_n=\Big(\psi(\b-1)-\psi(\b-\a-1)\Big)\frac{\Gamma(\a)\Gamma(\b-\a-1)}{\Gamma(\b-\a)\Gamma(\b-1)}$$

そういえばこの式, $_2F_1$超幾何関数の微分になっています. 導き方も似ているので確かにと思いますよね.

$\a=\frac12,\b=2$として

$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\binom{\,2n\,}{n}H_n}{2^{2n}(n+1)}=4\log2$$

両辺を$\b$で微分してから$\a=\frac12,\b=2$として

$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\binom{\,2n\,}{n}H_nH_{n+1}}{2^{2n}(n+1)}=\frac23\pi^2+8\log2$$

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今回は, これらのうち一番上の式を, 前回と少し違う方法で変形してみます.

両辺を$z:0\to1$と積分することで,

\begin{eqnarray*} \sumn{0}\frac{\Gamma(n+\a)}{\Gamma(n+\b)}\frac{H_n}{n+1}&=&-\frac1{\Gamma(\b-\a)}\int_0^1x^{\a-1}(1-x)^{\b-\a-1}\int_0^1\frac{\log(1-zx)}{1-zx}\,dz\,dx\\ &=&\frac1{2\Gamma(\b-\a)}\int_0^1x^{\a-2}(1-x)^{\b-\a-1}\log^2(1-x)\,dx\\ &=&\frac1{2\Gamma(\b-\a)}\frac{\partial^2}{\partial y^2}B(x,y)\bigg|_{(x,y)=(\a-1,\b-\a)} \end{eqnarray*}

これをがんばって計算して$\a=\frac12,\b=2$とすることで,

$$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\binom{\,2n\,}{n}H_n}{2^{2n}(n+1)^2}=8\log2-4\log^22-\frac{\pi^2}3$$

これを先ほどの式から両辺引くことで, とても綺麗に

$$\sumn{1}\frac{\binom{\,2n\,}{n}H_n^2}{2^{2n}(n+1)}=\pi^2+4\log^22$$

となりました！！！
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読んで下さった方, ありがとうございました.
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