x*sin(x)/(1+x^2) の積分

問題

解答

以下の図の積分路$C$に対して次のような複素積分を考えます.
ABCとDEFはそれぞれ半径$R, r\ (R>r)$の半円です.
$$\int_C\frac{ze^{iz}}{1+z^2}dz$$

積分路$C$

積分経路を四つの部分に分けて積分します. (☆)
\begin{align*} \int_C\frac{ze^{iz}}{1+z^2}\,dz&=\int_r^R\frac{xe^{ix}}{1+x^2}\,dx+\int_{ABC}\frac{ze^{iz}}{1+z^2}\,dz+\int_{-R}^{-r}\frac{xe^{ix}}{1+x^2}\,dx+\int_{DEF}\frac{ze^{iz}}{1+z^2}\,dz\\ &=:I_1+I_2+I_3+I_4 \end{align*}

(i) 左辺の積分

閉曲線$C$の周と$z=i$を除いた内部において被積分関数は正則であるから,
$$\int_C\frac{ze^{iz}}{1+z^2}dz=\int_C\frac{\frac{ze^{iz}}{z+i}}{z-i}dz=2\pi i\cdot\frac{ie^{i^2}}{i+i}=\frac{i\pi}{e}.$$

(ii) 右辺の積分$I_2$

$z=R(\cos\theta +i\sin\theta)=Re^{i\theta}\ (0\leq\theta\leq\pi)$と置換すると,
$$ I_2=\int_0^\pi\frac{Re^{i\theta}e^{iR(\cos\theta +i\sin\theta)}}{1+R^2e^{2i\theta}}\,d\theta$$
となります. ここで,
\begin{align*} \left|\int_0^\pi\frac{Re^{i\theta}e^{iR(\cos\theta +i\sin\theta)}}{1+R^2e^{2i\theta}}\,d\theta\right| &\leq\int_0^\pi\left|\frac{Re^{i\theta}e^{iR(\cos\theta +i\sin\theta)}}{1+R^2e^{2i\theta}}\right|\,d\theta\\ &=\int_0^\pi\frac{|R||e^{i\theta}||e^{iR\cos\theta}||e^{-R\sin\theta}|}{|1+R^2e^{2i\theta}|}\,d\theta\\ &=\int_0^\pi \frac{Re^{-R\sin\theta}}{|1+R^2e^{2i\theta}|}\,d\theta\\ &=\frac{1}{R}\int_0^\pi\frac{e^{-R\sin\theta}}{\left|\frac{1}{R}+e^{2i\theta}\right|}\,d\theta\\ &\leq\frac{1}{R}\int_0^\pi\frac{d\theta}{\left|\frac{1}{R}+e^{2i\theta}\right|}\to 0\quad(R\to \infty) \end{align*}
であるから, $I_2\to 0\ (R\to\infty)$です.

(iii) 右辺の積分 $I_4$

同様に$z=r(\cos\theta +i\sin\theta)=re^{i\theta}\quad (0\leq\theta\leq\pi)$と置換して,
$$ I_4=\int_\pi^0\frac{re^{i\theta}e^{ir(\cos\theta +i\sin\theta)}}{1+r^2e^{2i\theta}}\,d\theta\to 0\quad(r\to 0)$$
となります.

(iv) 右辺の積分 $I_1+I_3$

$I_3$のみ$x\longmapsto -x$と置換します.
\begin{align*} I_1+I_3&=\int_r^R\frac{xe^{ix}}{1+x^2}\,dx-\int_R^r\frac{-xe^{-ix}}{1+x^2}\,dx\\ &=\int_r^R\frac{xe^{ix}}{1+x^2}\,dx-\int_r^R\frac{xe^{-ix}}{1+x^2}\,dx. \end{align*}
$e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x$だから,
$$=2i\int_r^R\frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx.$$
ここでようやく求めたい積分が見えてきました.

まとめる

よって (☆) は$R\to\infty,\ r\to 0$とすると
\begin{align*} \int_C\frac{ze^{iz}}{1+z^2}dz&=0+0+2i\int_0^\infty\frac{x\sin x}{1+x^2}\,dx\\ 2iI&=\frac{i\pi}{e}\\ I&=\frac{\pi}{2e}. \end{align*}

最後に

　もともと Wolfram Alpha で計算してもらっていて, その答えがわたしにとって全く見たことないタイプだったので結構弱気でした.

　自分で計算してもミスをして希望がなくなっていく中, ミスに気づいたら求まっちゃったのでめちゃくちゃ嬉しかったです.

　複素積分の問題ってあからさまなものばっかりでつまらないと思っているので, 今回みたいな問題をもっとやってみたいですね.