ウォリスの公式

初めに

ウォリスの公式を勉強したので、浅はかな理解ではありますが書いてみました！初投稿なので多めにみていただけると幸いです。

Step1 $ sin^n x$の積分をしてみよう

方針としては、$\displaystyle I_{n}= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} sin^n xdx$とおいて、部分積分から$I_{n}$と$I_{n-1}$の関係式を求めていく感じです！

$$\displaystyle I_{n}= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n xdx$$とおく。
$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n xdx \\ =\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \cdot {\sin}xdx \\ =\displaystyle [-\sin^{n-1}x{\cos}x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (n-1)\sin^{n-2}x\cdot\cos^{2}xdx \\ =\displaystyle (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x(1-\sin^{2}x)dx \\ =\displaystyle (n-1)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^{n-2}x-\sin^nx)dx \\ =\displaystyle (n-1)(I_{n-2}-I_{n})$$
これより、次の関係式を得る。
$$\displaystyle nI_{n}=(n-1)I_{n-2}$$
したがって、
$$\displaystyle I_{n}={\frac{n-1}{n}I_{n-2}} $$
また、
$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{0}xdx={\frac{\pi}{2}},{\space} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} dx=[-\cos{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1$$

これらの式を用いて$\sin^nx$の積分を$n$の偶奇を分けて考えていきます。
$n \in \mathbb{N}のとき$
$$\displaystyle I_{2n}={\frac{2n-1}{2n}}I_{2n-2}={\frac{2n-1}{2n}}{\frac{2n-2}{2n-3}}I_{2n-4}={\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot} ={\frac{2n-1}{2n}}\cdot{\frac{2n-2}{2n-3}}\cdot{\frac{2n-4}{2n-5}}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot{\frac{3}{4}}\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\pi}{2}}$$

$$\displaystyle I_{2n-1}={\frac{2n-2}{2n-1}}I_{2n-3}={\frac{2n-2}{2n-1}}\cdot{\frac{2n-3}{2n-4}}I_{2n-5}={\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}={\frac{2n-2}{2n-1}}\cdot{\frac{2n-4}{2n-3}}\cdot{\frac{2n-6}{2n-5}}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot{\frac{4}{5}}\cdot{\frac{2}{3}}\cdot1$$

これで$\sin^nx$の積分が求まりました！では、ウォリスの公式に入っていきましょう！

Step2 ウォリスの公式Part1 $\sqrt{\pi}$を表してみよう

では、上のStep1で求めた積分結果を元にやっていきましょう！

$0\lt x \lt \frac{\pi}{2} $であるとき$0\lt \sin x \lt 1$であるから、2以上の自然数$n$に対して次が成り立つ。
$$\sin^{2n}x\lt\sin^{2n-1}x\lt\sin^{2n-2}x$$
したがって
$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}xdx\lt\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-1}xdx\lt\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n-2}xdx \Longrightarrow I_{2n}\lt I_{2n-1}\lt I_{2n-2}$$

よって、Step1の積分結果を用いると次式が成り立つ。
$$\displaystyle {\frac{2n-1}{2n}}\cdot{\frac{2n-2}{2n-3}}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot{\frac{3}{4}}\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\pi}{2}} \lt {\frac{2n-2}{2n-1}}\cdot{\frac{2n-4}{2n-3}}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot{\frac{4}{5}}\cdot{\frac{2}{3}}\cdot1 \lt {\frac{2n-2}{2n-3}}\cdot{\frac{2n-4}{2n-5}}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot{\frac{3}{4}}\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{\pi}{2}}$$

各辺を$$\displaystyle {\frac{2n-1}{2n}}\cdot{\frac{2n-2}{2n-3}}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot{\frac{3}{4}}\cdot{\frac{1}{2}}$$で割ると

$$\displaystyle \frac{\pi}{2}\lt 2n\cdot\frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2}\cdot\frac{(2n-4)^2}{(2n-3)^2}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot\frac{4^2}{5^2}\cdot\frac{2^2}{3^2}\lt \frac{\pi}{2} \cdot\frac{2n}{2n-1}$$

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{2}\cdot\frac{2n}{2n-1}=\lim_{n \to \infty}\frac{\pi}{2}\cdot\frac{2}{2-\frac{1}{n}}=\frac{\pi}{2}$$
であるから、はさみうちの原理より
$$\displaystyle \frac{\pi}{2}=\lim_{n \to \infty}\{2n\cdot\frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2}\cdot\frac{(2n-4)^2}{(2n-3)^2}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot\frac{4^2}{5^2}\cdot\frac{2^2}{3^2}\}$$

また、この式は次のように変形できる。

$$\displaystyle \pi=\lim_{n \to \infty}\{\frac{(2n)^2}{n}\cdot\frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2}\cdot\frac{(2n-4)^2}{(2n-3)^2}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot\frac{4^2}{5^2}\cdot\frac{2^2}{3^2}\} \\ =\displaystyle \lim_{n \to \infty}\{\frac{(2n)^4\cdot(2n-2)^4\cdot(2n-4)^4{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot4^4\cdot2^4}{n\cdot(2n)^2\cdot(2n-1)^2\cdot(2n-2)^2\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot2^2\cdot1^2}\} \\ =\displaystyle \lim_{n \to \infty}\{\frac{2^{4n}\cdot\{n\cdot(n-1)\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot2\cdot1\}^4}{n\cdot\{2n\cdot(2n-1)\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot2\cdot1\}^2}\} \\ =\displaystyle \lim_{n \to \infty}\{\frac{2^{4n}\cdot (n!)^4}{n\cdot \{(2n)!\}^2}\}$$
両辺の平方根を取って
$$\displaystyle \sqrt{\pi}=\lim_{n \to \infty}\{\frac{2^{2n}\cdot(n!)^2}{\sqrt{n}\cdot(2n)!}\}$$

Step3 ウォリスの公式Part2 $\frac{\pi}{2}$を表してみよう

Step2で求めた$\frac{\pi}{2}$を極限で表した式を今度は少し違う変形をしてみます！

$$\displaystyle \frac{\pi}{2}=\lim_{n \to \infty}\{2n\cdot\frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2}\cdot\frac{(2n-4)^2}{(2n-3)^2}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot\frac{4^2}{5^2}\cdot\frac{2^2}{3^2}\}$$

また、
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{2n}{2n+1}=1 $$
であるから、上の式は次のように変形できる。

$$\displaystyle \frac{\pi}{2}=\lim_{n \to \infty}\{\frac{2n}{2n+1}\cdot2n\cdot\frac{(2n-2)^2}{(2n-1)^2}\cdot\frac{(2n-4)^2}{(2n-3)^2}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot\frac{4^2}{5^2}\cdot\frac{2^2}{3^2}\cdot1\} \\ =\displaystyle \lim_{n \to \infty}\{\frac{(2n)^2}{(2n+1)(2n-1)}\cdot\frac{(2n-2)^2}{(2n-1)(2n-3)}\cdot{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}{\cdot}\cdot\frac{4^2}{5\cdot3}\cdot\frac{2^2}{3\cdot1}\} \\ =\displaystyle \prod_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n+1)(2n-1)}$$

したがって次の式を得る。

$$\displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}$$

自然数と$\pi$の意外な関係が…！
拙い記事ではありましたが、最後まで読んでいただきありがとうございました！