ウォリスの公式

初めに

ウォリスの公式を勉強したので、浅はかな理解ではありますが書いてみました！初投稿なので多めにみていただけると幸いです。

Step1 $si{n}^{n}x$の積分をしてみよう

方針としては、${\displaystyle I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx}$とおいて、部分積分から$I_n$と$I_{n-1}$の関係式を求めていく感じです！

$${\displaystyle I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx}$$とおく。
$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-1}x\cdot \sin xdx} \\ ={\displaystyle [-{\sin }^{n-1}x\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(n-1){\sin }^{n-2}x\cdot {\cos }^{2}xdx} \\ ={\displaystyle (n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-2}x(1-{\sin }^{2}x)dx} \\ ={\displaystyle (n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{n-2}x-{\sin }^{n}x)dx} \\ ={\displaystyle (n-1)(I_{n-2}-I_n)} \end{gathered}$$
これより、次の関係式を得る。
$${\displaystyle n{I}_n=(n-1)I_{n-2}}$$
したがって、
$${\displaystyle I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}}$$
また、
$${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{0}xdx=\frac{\pi }{2},{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=1}$$

これらの式を用いて${\sin }^{n}x$の積分を$n$の偶奇を分けて考えていきます。
$n\in \mathbb{N}のとき$
$${\displaystyle I_{2n}=\frac{2n-1}{2n}{I}_{2n-2}=\frac{2n-1}{2n}\frac{2n-2}{2n-3}{I}_{2n-4}=\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot =\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-2}{2n-3}\cdot \frac{2n-4}{2n-5}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}}$$

$${\displaystyle I_{2n-1}=\frac{2n-2}{2n-1}{I}_{2n-3}=\frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-3}{2n-4}{I}_{2n-5}=\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot =\frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3}\cdot \frac{2n-6}{2n-5}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1}$$

これで${\sin }^{n}x$の積分が求まりました！では、ウォリスの公式に入っていきましょう！

Step2 ウォリスの公式Part1 $\sqrt{\pi }$を表してみよう

では、上のStep1で求めた積分結果を元にやっていきましょう！

$0<x<\frac{\pi }{2}$であるとき$0<\sin x<1$であるから、2以上の自然数$n$に対して次が成り立つ。
$${\sin }^{2n}x<{\sin }^{2n-1}x<{\sin }^{2n-2}x$$
したがって
$${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}xdx<{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n-1}xdx<{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n-2}xdx⟹I_{2n}<I_{2n-1}<I_{2n-2}}$$

よって、Step1の積分結果を用いると次式が成り立つ。
$${\displaystyle \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-2}{2n-3}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}<\frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1<\frac{2n-2}{2n-3}\cdot \frac{2n-4}{2n-5}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}}$$

各辺を$${\displaystyle \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-2}{2n-3}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}}$$で割ると

$${\displaystyle \frac{\pi }{2}<2n\cdot \frac{(2n-2{)}^2}{(2n-1{)}^2}\cdot \frac{(2n-4{)}^2}{(2n-3{)}^2}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{4^2}{5^2}\cdot \frac{2^2}{3^2}<\frac{\pi }{2}\cdot \frac{2n}{2n-1}}$$

$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{2}\cdot \frac{2n}{2n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{2}\cdot \frac{2}{2-\frac{1}{n}}=\frac{\pi }{2}}$$
であるから、はさみうちの原理より
$${\displaystyle \frac{\pi }{2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{2n\cdot \frac{(2n-2{)}^2}{(2n-1{)}^2}\cdot \frac{(2n-4{)}^2}{(2n-3{)}^2}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{4^2}{5^2}\cdot \frac{2^2}{3^2}\}}$$

また、この式は次のように変形できる。

$$\begin{gathered} {\displaystyle \pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{(2n{)}^2}{n}\cdot \frac{(2n-2{)}^2}{(2n-1{)}^2}\cdot \frac{(2n-4{)}^2}{(2n-3{)}^2}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{4^2}{5^2}\cdot \frac{2^2}{3^2}\}} \\ ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{(2n{)}^4\cdot (2n-2{)}^4\cdot (2n-4{)}^4\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 4^4\cdot 2^4}{n\cdot (2n{)}^2\cdot (2n-1{)}^2\cdot (2n-2{)}^2\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2^2\cdot 1^2}\}} \\ ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{2^{4n}\cdot \{n\cdot (n-1)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2\cdot 1{\}}^4}{n\cdot \{2n\cdot (2n-1)\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2\cdot 1{\}}^2}\}} \\ ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{2^{4n}\cdot (n!{)}^4}{n\cdot \{(2n)!{\}}^2}\}} \end{gathered}$$
両辺の平方根を取って
$${\displaystyle \sqrt{\pi }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{2^{2n}\cdot (n!{)}^2}{\sqrt{n}\cdot (2n)!}\}}$$

Step3 ウォリスの公式Part2 $\frac{\pi }{2}$を表してみよう

Step2で求めた$\frac{\pi }{2}$を極限で表した式を今度は少し違う変形をしてみます！

$${\displaystyle \frac{\pi }{2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{2n\cdot \frac{(2n-2{)}^2}{(2n-1{)}^2}\cdot \frac{(2n-4{)}^2}{(2n-3{)}^2}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{4^2}{5^2}\cdot \frac{2^2}{3^2}\}}$$

また、
$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n}{2n+1}=1}$$
であるから、上の式は次のように変形できる。

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{\pi }{2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{2n}{2n+1}\cdot 2n\cdot \frac{(2n-2{)}^2}{(2n-1{)}^2}\cdot \frac{(2n-4{)}^2}{(2n-3{)}^2}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{4^2}{5^2}\cdot \frac{2^2}{3^2}\cdot 1\}} \\ ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\frac{(2n{)}^2}{(2n+1)(2n-1)}\cdot \frac{(2n-2{)}^2}{(2n-1)(2n-3)}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{4^2}{5\cdot 3}\cdot \frac{2^2}{3\cdot 1}\}} \\ ={\displaystyle \prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n{)}^2}{(2n+1)(2n-1)}} \end{gathered}$$

したがって次の式を得る。

$${\displaystyle \frac{\pi }{2}=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}}$$

自然数と$\pi$の意外な関係が…！
拙い記事ではありましたが、最後まで読んでいただきありがとうございました！