高校数学から見る①-1（体論）

はじめに

過去の入試問題で，次の問題があります。

この問題を初めてみる人にとっては，「なんなんだこの問題？」「この${\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}$という関数はどこから出て来たんだ？」という疑問が自然と出てくると思います。なんなら昔の僕はそうでした。しかし今の僕ならばこの問題をより深く考察することが出来ます。これは体論と絡めて語ることが出来ます。

そこでこの記事（及びその続記事）では，この問題の周辺の話題を思いつらつらと書いていきます。

方針として，

• まずは高校生にも伝わることとして，この問題を複素数の立場から眺める。
• 次にガロア理論（というより体論）からこの問題を眺める
• 最後に，整数論から眺める（次回）

KeyWords: ガロア拡大，アーベル拡大，入試問題，体論，複素数

1の9乗根で表す

複素数を用いることで，話が簡明になります。特にこの節では$1$の9乗根を使うことで，$g(x)$の正体を暴いていきましょう。

まず，$\eta =\cos {\displaystyle \frac{2}{9}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2}{9}}\pi$とします。これは$1$の原始9乗根です。${\eta }^3$は$1$の3乗根ですから，$${\eta }^6+{\eta }^3+1=0$$
を得ます。これを${\eta }^3$で割ると，$${\eta }^3+{\displaystyle \frac{1}{{\eta }^3}}+1=0$$です。ここで変換$\mathit{t}\mathbf{=}\mathit{\eta }\mathbf{+}{\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathit{\eta }}}$を与えますと，$${\mathit{t}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{t}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{0}$$
を得ます。これはまさしく$f(x)=0$の解になっています。すなわち，$\mathit{t}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{cos}\mathbf{}{\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{9}}}\mathit{\pi }$は$f(x)$の根になっていることが分かりました。同様にして他の解も$1$の9乗根で表すことが出来ます。具体的には，$$\eta +{\displaystyle \frac{1}{\eta }},{\eta }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\eta }^2}},{\eta }^4+{\displaystyle \frac{1}{{\eta }^4}}$$が解になっています。例えば今列挙した順に$\alpha ,\beta ,\gamma$と置くならば，$$\beta ={\alpha }^2-2,\gamma ={\beta }^2-2,\alpha ={\gamma }^2-2$$
となることは容易に分かり，これはこれで$g(x)$の正体が判明しました。

追記

どうやら過去にこんな問題が出されたようです。参考にしていただければと思います。

有理数体のアーベル拡大

ここからがメインテーマであり，長い道のりです。ガロア拡大（特にアーベル拡大）とリンクさせながら話を続けていきましょう。

アーベル拡大と3次多項式

「$f(T)$の最小分解体が単拡大である」「$f(T)$の最小分解体を$L$として，$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$がアーベル群である」などはすべて同値な言い換えです。

モニックな既約多項式$f(T)$が$2$次の多項式であれば，その根を添加して出来る体はすべてアーベル拡大です。

モニックな既約多項式$f(T)$が$3$次であれば，$f(T)=(T-\alpha )(T-\beta )(T-\gamma )$について，$\mathbb{Q}(\alpha )$がアーベル拡大であるための必要十分条件があります。

g(x)の正体に迫る

この定理の結果を，考えている問題に適用しましょう。今回の場合は，$$f(x)=x^3-3x+1=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$$
で，実際に$\delta$を計算してみます。$$f^{\prime }(\alpha )=(\alpha -\beta )(\beta -\gamma ),f^{\prime }(\beta )=(\beta -\gamma )(\beta -\alpha ),f^{\prime }(\gamma )=(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )$$
であるので，
$$\begin{array}{rl}{\delta }^2& =(\alpha -\beta {)}^2(\beta -\gamma {)}^2(\gamma -\alpha {)}^2\\ & =-f^{\prime }(\alpha )f^{\prime }(\beta )f^{\prime }(\gamma )\\ & =-(3{\alpha }^2-3)(3{\beta }^2-3)(3{\gamma }^2-3)\end{array}$$
と計算できます。ここで，根と係数の関係から，
$$\begin{array}{rlrl}& \alpha +\beta +\gamma & =& \phantom{-}0\\ & \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha & =& -3\\ & \alpha \beta \gamma & =& -1& \end{array}$$
が成り立っていましたので，これを使うことで，${\delta }^2=81$となり，$\delta$が有理数であることが分かりました。（$\delta$の正負は，$\alpha ,\beta ,\gamma$の具体的な取り方によって変わります。）従って，$f(x)$の最小分解体は単拡大であることが分かり，特に$\mathit{\beta }$や$\mathit{\gamma }$は$\mathit{\alpha }$を用いて表される事が分かりました。

そこで，例えば$\delta =9$として，$\beta ,\gamma$の値を求めていきます。

定理の証明における計算から，$$\{\begin{array}{l}\beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}(-\alpha -{\displaystyle \frac{9}{3{\alpha }^2-3}})={\displaystyle \frac{1}{2}}(-\alpha -{\displaystyle \frac{3}{{\alpha }^2-1}})\\ \gamma ={\displaystyle \frac{1}{2}}(-\alpha +{\displaystyle \frac{3}{{\alpha }^2-1}})\end{array}$$
が分かります。ここで，$\alpha$に関する恒等式$${\displaystyle \frac{3}{{\alpha }^2-1}}=2{\alpha }^2+\alpha -4$$
を用いる（なぜ成り立つかは考えてみてください。）ことで，
$$\{\begin{array}{l}\beta =-{\alpha }^2-\alpha +2\\ \gamma ={\alpha }^2-2\end{array}$$
と表すことが出来ました。ここに出てくる${\mathit{\alpha }}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}$こそが，$\mathit{g}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$の正体なのです。

また，神戸大の問題の$g(x)$の代わりに，$h(x)=-x^2-x+2$を与えることで類題を作成することが出来ます。

ここまでのまとめ

とりあえずこの問題について，高校生でも分かること，体論から眺めることで色をつけられることを見ていきました。次回は，整数論との関連を見ていきます。ここまで見ていただきありがとうございます。

【追記】

もっと過去にさかのぼると，こんな問題がありました。