奈良素敵大学模試(自作模試)大問2

問題

以下の漸化式で与えられる数列$\{a_n\},\{b_n\}$を考える。ただし、$n$は非負整数であるとし、$\{a_n\}$の初項は$a_0=1$とする。
$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a_{n+1}=\sum_{k=0}^na_ka_{n-k} \\ \displaystyle b_{n+1}=\sum_{k=0}^n (k+1)a_ka_{n-k} \end{array} \right.$
(1)$b_n$を$a_n$で表わせ。
(2)$\displaystyle a_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}a_n$を証明せよ。
(3)それぞれの数列の一般項$a_n,b_n$を求めよ。
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$を求めよ。

解説は こちら 。