奈良素敵大学模試(自作模試)大問2

問題

以下の漸化式で与えられる数列$\{a_n\},\{b_n\}$を考える。ただし、$n$は非負整数であるとし、$\{a_n\}$の初項は$a_0=1$とする。
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle a_{n+1}=\sum _{k=0}^n{a}_k{a}_{n-k}}\\ {\displaystyle b_{n+1}=\sum _{k=0}^n(k+1)a_k{a}_{n-k}}\end{array}$
(1)$b_n$を$a_n$で表わせ。
(2)${\displaystyle a_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}{a}_n}$を証明せよ。
(3)それぞれの数列の一般項$a_n,b_n$を求めよ。
(4)${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}}$を求めよ。

解説は こちら 。