大小比較の問題

解
$$\frac{3^{25}}{2^{39}}=\frac{1}{3}\left(\frac{3^{26}}{2^{39}}\right)=\frac{1}{3}{\left(\frac{3^2}{2^3}\right)}^{13}=\frac{1}{3}{\left(\frac{9}{8}\right)}^{13}$$
ここで、二項定理より
$$\begin{array}{rcl}{\left(\frac{9}{8}\right)}^{13}& =& {(1+\frac{1}{8})}^{13}\\ & =& 1+{}_{13}{\mathrm{C}}_1\left(\frac{1}{8}\right)+{}_{13}{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{1}{8}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{1}{8}\right)}^{13}\\ & >& 1+{}_{13}{\mathrm{C}}_1\left(\frac{1}{8}\right)+{}_{13}{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{1}{8}\right)}^2\\ & =& 1+\frac{13}{8}+\frac{78}{64}\\ & >& 1+1+1\\ & =& 3\end{array}$$
であるから、
$$\frac{1}{3}{\left(\frac{9}{8}\right)}^{13}>1$$
ゆえに
$$\frac{3^{25}}{2^{39}}>1$$
となるので、$3^{25}$のほうが$2^{39}$よりも大きい。　・・・答

以前、同僚から相談を受けた問題でした。常用対数ですぐ解けますが、数学Ⅰの範囲で解く必要があるとのことで、このように解いてみました。二項定理というよりは、$(1+x{)}^n$の2次近似でもいけるかもしれません。