大小比較の問題
$2^{39}$と$3^{25}$とは、どちらのほうが大きいか。
解
$$ \frac{3^{25}}{2^{39}}=\frac{1}{3}\left(\frac{3^{26}}{2^{39}}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{3^{2}}{2^{3}}\right)^{13}=\frac{1}{3}\left(\frac{9}{8}\right)^{13}
$$
ここで、二項定理より
\begin{eqnarray}
\left(\frac{9}{8}\right)^{13}&=&\left(1+\frac{1}{8}\right)^{13}\\
&=&1+{}_{13} \mathrm{ C }_1\left(\frac{1}{8}\right)+{}_{13} \mathrm{ C }_2\left(\frac{1}{8}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{8}\right)^{13}\\
&>&1+{}_{13} \mathrm{ C }_1\left(\frac{1}{8}\right)+{}_{13} \mathrm{ C }_2\left(\frac{1}{8}\right)^2\\
&=&1+\frac{13}{8}+\frac{78}{64}\\
&>&1+1+1\\
&=&3
\end{eqnarray}
であるから、
$$\frac{1}{3}\left(\frac{9}{8}\right)^{13}>1$$
ゆえに
$$ \frac{3^{25}}{2^{39}}>1$$
となるので、$3^{25}$のほうが$2^{39}$よりも大きい。 ・・・答
以前、同僚から相談を受けた問題でした。常用対数ですぐ解けますが、数学Ⅰの範囲で解く必要があるとのことで、このように解いてみました。二項定理というよりは、$(1+x)^n$の2次近似でもいけるかもしれません。
