とある整数問題を解く

とある整数問題を解いてみたい。
$$k^2=3^m+40.$$
これを満たすすべての整数$k,m$を求めよ。
$$3^m\equiv (-1{)}^m\equiv 1または3(\mathrm{mod}4)$$
だから$k^2$は$4$で割った余りが$1$または$3$ということで、$k$は奇数、奇数の$2$乗は$4$で割ると$1$余るから$3^m$も$4$で割ると$1$余る。ゆえに$m$は偶数で、$m=2l$を代入して、
$$k^2=3^{2l}+40,40=(k-3^l)(k+3^l).$$
これより、
$$2\cdot 3^l=(k+3^l)-(k-3^l)\in \{40-1,20-2,10-4,8-5\}=\{39,18,6,3\}.$$
もちろん適するのは$2$つだけ。それらは共に適する。したがって$l$は$1,2$となり、$m$は$2,4$となる。最後に$k$を求めるとき負の数も適することに注意する。これでケアレスミスする人多いんだよね。
$$\therefore (k,m)=(7,2),(-7,2),(11,4),(-11,4).$$