とある整数問題を解く

とある整数問題を解いてみたい。
$$ k^2 = 3^m + 40.$$
これを満たすすべての整数$k,~m$を求めよ。
$$ 3^m \equiv (-1)^m \equiv 1~または~3~~~~(\mathrm{mod}~ 4)$$
だから$k^2$は$4$で割った余りが$1$または$3$ということで、$k$は奇数、奇数の$2$乗は$4$で割ると$1$余るから$3^m$も$4$で割ると$1$余る。ゆえに$m$は偶数で、$m=2l$を代入して、
$$ k^2=3^{2l} + 40,~~~~40 = (k-3^l)(k+3^l). $$
これより、
$$ 2\cdot 3^l = (k+3^l) - (k-3^l) \in \{40-1,~ 20-2,~ 10-4,~ 8-5 \} = \{ 39,~18,~6,~3 \}. $$
もちろん適するのは$2$つだけ。それらは共に適する。したがって$l$は$1,~2$となり、$m$は$2,~4$となる。最後に$k$を求めるとき負の数も適することに注意する。これでケアレスミスする人多いんだよね。
$$ \therefore~~(k,~m)=(7,~2),~(-7,~2),~(11,~4),~(-11,~4). $$