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高校数学の問題-その1

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初めに

この記事では私が高校時代に作問した高校数学の問題の中から個人的にそれなりに良い出来だと思ったものを一つ紹介します。(この文章はこの後紹介する問題が良問であることを一切保証しません。)
問題のすぐ後に解答を書くので解きたい人は注意してください。

問題

(1)任意の自然数n1に対し、実数θについての方程式
sinnθ+cosnθ=tannθ
0<θ<π2の範囲でただ一つの解をもつことを示せ。

(2)各自然数n1に対し、(1)の唯一解をθnと置く。極限
limnsinθn,limncosθn,limntanθn,
をそれぞれ求めよ。

解答

(1)
fn(θ)=tannθ(sinnθ+cosnθ)と置く。0<θ<π2より、0<sinθ,cosθ<1であるから、
fn(θ)=ntann1θ1cos2θnsinn1θcosθncosn1θ(sinθ)=nsinθcosn+1θ(sinn2θsinn2θcosn+2θ+cos2nθ)=nsinθcosn+1θ(sinn2θ(1cosn+2θ)+cos2nθ)>0
したがって、fn(θ)は単調増加である。次に、二項定理より、
(3+12)n=k=0nnCk(32)k(12)nk(32)n+(12)n
であり、この不等式より
fn(π6)=(13)n((12)n+(32)n)<(13)n(1(32)n)<0
fn(π3)=(3)n((32)n+(12)n)>(3+12)n((32)n+(12)n)0
であるから、fn(θ)は閉区間[π6,π3]で連続なので、中間値の定理より、f(θ)=0となるθπ6<θ<π3の範囲に少なくとも一つ存在する。fn(θ)(0,π2)で単調増加なので、この開区間内でfn(θ)=0の解はただ一つであことがわかる。fn(θ)=0sinnθ+cosnθ=tannθは同値であるから(1)の方程式は0<θ<π2の範囲にただ一つの解をもつ。

(2)
nのときについて考えているので、n>2のときを考えれば十分であるから、以降n>2のときを考える。
(1)よりπ6<θn<π3であるが、
fn(π4)=(1)n((12)n+(12)n)>1(12+12)0となるから、π6<θn<π4である。したがって、
0<sinθn<cosθnが成立する。したがって、
cosnθn<sinnθn+cosnθn<2cosnθn
であるから、
cosnθn<tannθn<2cosnθn
を得る。これよりcosθn,tanθn>0であるから、
cosθn<tanθn<21ncosθn
が成立する。cosθn<tanθnより、
sinθn>cos2θn=1sin2θn
であるから、不等式
sin2θn+sinθn1=(sinθn+1+52)(sinθn+152)>0
を得る。sinθn+1+52>0であるから、上の不等式より
(sinθn+152)>0(a)
を得る。同様に、21ncosθn>tanθnより、
sinθn<21ncos2θn=21n(1sin2θn)
であるから、不等式
sin2θn+21nsinθn1=(sinθn+21n+22n+42)(sinθn+21n22n+42)<0
を得る。(sinθn+21n+22n+42)>0であるから、上の不等式より
(sinθn+21n22n+42)<0(b)
を得る。(a),(b)より、
512<sinθn<22n+421n2
が成立し、
limn22n+421n2=20+4202=512
となるから、はさみうちの原理より、
limnsinθn=512
を得る。0<θn<π2より、
limncosθn=limn1sin2θn=1(512)2=512
limntanθn=limnsinθncosθn=512512=512
となる。以上をまとめると、
limnsinθn=512,limncosθn=limntanθn=512
となる。

投稿日:20201114
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