円状に帯電する電荷がつくる電場

円状に帯電する電荷が作る電場について考える。簡単のため円の中心軸上の電場についてについてみる。読みやすくするため、文字の細かな定義は察してください。

実直に計算する場合

円形電荷
図のように赤線のところに電荷が円状に帯電しており、電荷線密度$\rho$、円の半径を$r$、考える点を$s$、円から点$s$までの距離を$a=\sqrt{r^2+s^2}$とする。点$s$で作る電場は定義から、$$\begin{array}{r}\mathit{E}={\int }_C\frac{\rho }{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathit{a}}{a^3}d\ell \end{array}$$と書ける。積分領域$C$は今見ている円（赤い部分）である。今、図より$$\begin{array}{r}\mathit{s}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ s\end{array}\right),\mathit{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$とすると、$$\begin{array}{r}\mathit{a}=\mathit{s}-\mathit{r}=\left(\begin{array}{c}-x\\ -y\\ s\end{array}\right)\end{array}$$であり、$$\begin{array}{r}d\ell =rd\theta \end{array}$$である。これより、電場の成分それぞれは、$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$を使って、$$\begin{array}{rl}{E}_x& =\frac{r\rho }{4\pi {\epsilon }_0{a}^3}{\int }_0^{2\pi }(-\cos \theta )d\theta =0,\\ \\ E_y& =\frac{r\rho }{4\pi {\epsilon }_0{a}^3}{\int }_0^{2\pi }(-\sin \theta )d\theta =0,\\ \\ E_z& =\frac{r\rho s}{4\pi {\epsilon }_0{a}^3}{\int }_0^{2\pi }d\theta =\frac{r\rho s}{2{\epsilon }_0{a}^3}\end{array}$$となる。$E_x$、$E_y$の積分について$\sin \theta$、$\cos \theta$の1周期分の積分なので$0$。$E_z$の積分部分は$2\pi$なので、上記のように書ける。

対称性を使う

上記の方法は積分の計算練習として扱えればよい。問題集や参考書等でよく見かけるのはこちらの方法であろう。
円形電荷2
先ほどの図を横から見たら上図のようになる。図のように点対称な部分2点を見ると（見る線分を$\mathrm{\Delta }\ell$とする）、点$s$で作られる電場は、$z$軸に垂直な成分はキャンセルされ、$z$方向のみ生き残る。片側の点が作る電場の$z$成分は$$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }{E}_z=\mathrm{\Delta }E\sin \varphi \end{array}$$となる。ここで$\sin \varphi$は定数で、図より、$$\begin{array}{r}\sin \varphi =\frac{s}{a}\end{array}$$であり、また$$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }E=\frac{\rho \mathrm{\Delta }\ell }{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{a^2}\end{array}$$なので、$$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }{E}_z=\frac{\rho \mathrm{\Delta }\ell }{4\pi {\epsilon }_0}\frac{s}{a^3}\end{array}$$となる。またもう片方が作る電場も同じ大きさなので両者が作る電場は$$\begin{array}{r}2\mathrm{\Delta }{E}_z=\frac{\rho \mathrm{\Delta }\ell }{2\pi {\epsilon }_0}\frac{s}{a^3}\end{array}$$である。$\mathrm{\Delta }\ell$を$d\ell$として積分をすれば良いが、注意するのは2カ所同時に見たので半周分の積分で良いということである。つまり、$$\begin{array}{r}{E}_z={\int }_{C/2}2d{E}_z={\int }_{C/2}\frac{\rho d\ell }{2\pi {\epsilon }_0}\frac{s}{a^3}=\frac{\rho }{2\pi {\epsilon }_0}\frac{s}{a^3}{\int }_{C/2}d\ell =\frac{\rho }{2\pi {\epsilon }_0}\frac{s}{a^3}\cdot \pi r=\frac{r\rho s}{2{\epsilon }_0{a}^3}\end{array}$$
となる。当然だが、これらの結果は上でやった方法と一致している。物理的に大事なのは対称性を使うと簡単にできるということ、教育的にはどんな方法でも解けるようになることと思い、両者の解法を記事にしてみた。