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円状に帯電する電荷がつくる電場

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円状に帯電する電荷が作る電場について考える。簡単のため円の中心軸上の電場についてについてみる。読みやすくするため、文字の細かな定義は察してください。

実直に計算する場合

円形電荷 円形電荷
図のように赤線のところに電荷が円状に帯電しており、電荷線密度$\rho$、円の半径を$r$、考える点を$s$、円から点$s$までの距離を$a=\sqrt{r^2+s^2}$とする。点$s$で作る電場は定義から、\begin{align} \boldsymbol{E} = \int_C\frac{\rho}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{a}}{a^3}d\ell \end{align}と書ける。積分領域$C$は今見ている円(赤い部分)である。今、図より\begin{align} \boldsymbol{s} = \left( \begin{array}{ccc} 0\\ 0\\ s \end{array} \right), \boldsymbol{r} = \left( \begin{array}{ccc} x\\ y\\ 0 \end{array} \right) \end{align}とすると、\begin{eqnarray} \boldsymbol{a} = \boldsymbol{s} -\boldsymbol{r} = \left( \begin{array}{ccc} -x\\ -y\\ s \end{array} \right) \end{eqnarray}であり、\begin{align} d\ell = rd\theta \end{align}である。これより、電場の成分それぞれは、$x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$を使って、\begin{align} E_x &= \frac{r\rho}{4 \pi \varepsilon_0 a^3}\int_0^{2\pi}(-\cos\theta)d\theta=0,\\\\ E_y &= \frac{r\rho}{4 \pi \varepsilon_0 a^3}\int_0^{2\pi}(-\sin\theta)d\theta=0,\\\\ E_z &= \frac{r\rho s}{4 \pi \varepsilon_0 a^3}\int_0^{2\pi}d\theta=\frac{r\rho s}{2\varepsilon_0 a^3} \end{align}となる。$E_x$$E_y$の積分について$\sin\theta$$\cos\theta$の1周期分の積分なので$0$$E_z$の積分部分は$2\pi$なので、上記のように書ける。

対称性を使う

上記の方法は積分の計算練習として扱えればよい。問題集や参考書等でよく見かけるのはこちらの方法であろう。
円形電荷2 円形電荷2
先ほどの図を横から見たら上図のようになる。図のように点対称な部分2点を見ると(見る線分を$\Delta \ell$とする)、点$s$で作られる電場は、$z$軸に垂直な成分はキャンセルされ、$z$方向のみ生き残る。片側の点が作る電場の$z$成分は\begin{align} \Delta E_z = \Delta E\sin\phi \end{align}となる。ここで$\sin\phi$は定数で、図より、\begin{align} \sin\phi = \frac{s}{a} \end{align}であり、また\begin{align} \Delta E=\frac{\rho \Delta \ell}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{a^2} \end{align}なので、\begin{align} \Delta E_z=\frac{\rho \Delta \ell}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{s}{a^3} \end{align}となる。またもう片方が作る電場も同じ大きさなので両者が作る電場は\begin{align} 2\Delta E_z=\frac{\rho \Delta \ell}{2 \pi \varepsilon_0}\frac{s}{a^3} \end{align}である。$\Delta\ell$$d\ell$として積分をすれば良いが、注意するのは2カ所同時に見たので半周分の積分で良いということである。つまり、\begin{align} E_z=\int_{C/2}2d{E_z}=\int_{C/2}\frac{\rho d\ell}{2 \pi \varepsilon_0}\frac{s}{a^3}=\frac{\rho}{2 \pi \varepsilon_0}\frac{s}{a^3}\int_{C/2} d\ell=\frac{\rho}{2 \pi \varepsilon_0}\frac{s}{a^3}\cdot \pi r =\frac{r\rho s}{2\varepsilon_0 a^3} \end{align}
となる。当然だが、これらの結果は上でやった方法と一致している。物理的に大事なのは対称性を使うと簡単にできるということ、教育的にはどんな方法でも解けるようになることと思い、両者の解法を記事にしてみた。

投稿日:20201114

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