p進距離
はじめに
ここでは$p$は素数とする．$\Q$には通常の距離とは異なる代数的な距離を考えることができる．その距離位相の完備化によって得られる$p$進体は整数論で重要である．そこで$p$進体を構成する準備として，この記事では$p$進距離を定義する．
$p$進加法付値(order)
体$K$上の関数$v:K\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$が加法的付値であるとは，
(1) $v(1)=0,\ v(0)=+\infty$
(2) $\all x,y\in K,\ v(xy)=v(x)+v(y)$
(3) $\all x,y\in K,\ v(x+y)\ge\min\{v(x),v(y)\}$
を充たすことをいう．但し，$\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$には自然な順序と和を定義するものとする．
体$K$上の関数$v:K\to\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$を
$$
v(x) :=
\begin{dcases*}
0 & if $x\in K^\times$ \\
+\infty & if $x=0$
\end{dcases*}
$$
で定めると，これは加法的付値となる．
これを自明な加法的付値という．
$p$を素数とする．$x\in \mathbb{Q}^{\times}$に対し，
$$x=p^{n}\frac{a}{b},\ \ n,a,b\in\mathbb{Z},\ \ \gcd(p,ab)=1$$
と表したとき，
$$\ord_p(x):=n$$
と定義する．また，$\ord_p(0):=+\infty$とする．
このとき，$\ord_p :\Q\to \mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$を$p$に関するorderまたは$p$進加法付値という．
$$\ord_3(45)=2$$
$$\ord_3\br{\fr{91}{108}}=-4$$
$$\ord_3(1000000)=\ord_3\br{\fr{1}{1000000}}=0$$
素数$p$に関するorderは$\mathbb{Q}$上の加法的付値である．
- $\ord_p(1)=\ord_p(p^0)=0,\ \ord_p(0):=+\infty$である．
- $x=0 \vee y=0$のときは明白．
$x,y\in \mathbb{Q}^{\times}$に対し，
$$ x=p^{n}\fr{a}{b},\ y=p^{m}\fr{c}{d},\ \ \gcd(p,ab)=\gcd(p,cd)=1 $$
と表したとき，
$$ xy=p^{n}\fr{a}{b}p^{m}\fr{c}{d}=p^{n+m}\fr{ac}{bd},\ \ \gcd(p,acbd)=1 $$
であるから，
$$ \ord_p(xy)=n+m=\ord_p(x)+\ord_p(y) $$ - $x=0 \vee y=0$のときは明白．
$x,y\in \mathbb{Q}^{\times}$に対し，
$$ x=p^{n}\fr{a}{b},\ y=p^{m}\fr{c}{d},\ \ \gcd(p,ab)=\gcd(p,cd)=1 $$
と表すとき，$n\le m$としても一般性を失わない．
$$ x+y=p^{n}\fr{a}{b}+p^{m}\fr{c}{d}=p^n\fr{ad+p^{m-n}bc}{bd} $$
（$n\le m$によって$ad+p^{m-n}bc\in\mathbb{Z}$である．）
であるから，
$$ad+p^{m-n}bc=p^k e,\ \ k,e\in\mathbb{Z},\ \ \gcd(p,e)=1$$
なる$k$によって，
$$x+y=p^{n+k}\fr{e}{bd},\ \ \gcd(p,ebd)=1$$
と表せるので，
$$ \ord_p(x+y)=n+k\ge n=\min\{\ord_p(x),\ord_p(y)\} $$
(3)の証明において，$m\ne n$のとき，$k=0$である．
よって，
$$
\ord_p(x)\ne\ord_p(y)\ \too\ \ord_p(x+y)=\min\{\ord_p(x),\ord_p(y)\}
$$
非Archimedes付値
体$K$上の関数$|\cdot|:K\to\mathbb{R}_{\ge 0}$が非Archimedes付値であるとは，
(1) $\all x\in K,\ |x|=0\lra x=0$
(2) $\all x,y\in K,\ |xy|=|x||y|$
(3) $\all x,y\in K,\ |x+y|\le\max\{|x|,|y|\}$ （強三角不等式）
を充たすことをいう．
強三角不等式は三角不等式より強い条件である．実際，
$$|x+y|\le\max\{|x|,|y|\}\le|x|+|y|$$
体$K$上の関数$|\cdot|:K\to\mathbb{R}_{\ge 0}$を
$$
|x| :=\chi_{K^\times}(x)=
\begin{dcases*}
1 & if $x\in K^\times$ \\
0 & if $x=0$
\end{dcases*}
$$
で定めると，これは非Archimedes付値となる．これを自明な非Archimedes付値という．
$\mathbb{R}$上の通常の絶対値は非Archimedes付値ではない．（Archimedes付値である．）実際，
$$
2=|1+1|>\max\{|1|,|1|\}=|1|=1
$$
である．
$|\cdot|:K\to\mathbb{R}_{\ge 0}$を体$K$上の非Archimedes付値とする．このとき，
(1) $|1|=1$
(2) $|-x|=|x|$
- $|1|=|1\cdot 1|=|1||1|$であり，$|1|\ne 0$より，$|1|=1$
- $1=|1|=|(-1)(-1)|=|-1||-1|$であり，$|-1|\ge 0$より，$|-1|=1$.
よって，$|-x|=|(-1)x|=|-1||x|=|x|$
非Archimedes距離
集合$X$と関数$d\colon X \times X \to \mathbb{R}$の組$(X,d)$が距離空間であるとは，
(1) $\all x,y\in X, d(x,y) = 0 \lra x = y$
(2) $\all x,y\in X,d(x,y) = d(y,x)$
(3) $\all x,y,z\in X,d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$（三角不等式）
を充たすことをいう．
(1)(2)(3)から$\all x,y\in X,d(x,y) \geq 0$が従う．
集合$X$上の距離$d:X\times X\to\mathbb{R}$が非Archimedes距離であるとは，次の強三角不等式
$$
\all x,y,z\in X,\;d(x,z)\le \max\{d(x,y),d(y,z)\}
$$
を充たすことをいう．
強三角不等式は三角不等式より強い条件である．実際，
$$d(x,z)\le \max\{d(x,y),d(y,z)\}\le d(x,y)+d(y,z)$$
よって非Archimedes距離の定義は距離空間の定義の条件(3)を強三角不等式に置き換えればよい．
$|\cdot|:K\to\mathbb{R}_{\ge 0}$を体$K$上の非Archimedes付値とする．このとき，
$$d:K\times K\to\mathbb{R},\ d(x,y):=|x-y|$$
と定め，これを非Archimedes付値が誘導する非Archimedes距離という．
$x\in K$に対して$|x|=d(x,0)$である．
体$K$上の非Archimedes付値が誘導する非Archimedes距離$d$は$K$上の非Archimedes距離である．
- $x,y\in K$に対し，
$$ d(x,y)=0\ \lra\ |x-y|=0\ \lra\ x-y=0\ \lra\ x=y $$ - $x,y\in K$に対し，
$$ d(x,y)=|x-y|=|-(x-y)|=d(y,x) $$ - $x,y,z\in K$に対し，
\begin{align} d(x,z)&=|x-z|=|(x-y)+(y-z)|\\ &\le\max\{|x-y|,|y-z|\}\\ &=\max\{d(x,y),d(y,z)\} \end{align}
$p$進付値と$p$進距離
$|\cdot|_p:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}_{\ge 0}$を，
$$
|x|_p :=
\begin{dcases*}
p^{-\ord_p(x)} & \text{if $x\in\mathbb{Q}^\times$} \\
0 & \text{if $x=0$}
\end{dcases*}
$$
と定める．これを$p$進付値という．
$p$進付値は離散集合$\Gamma_p\cup\{0\},\ \Gamma_p:=\{p^n\mid n\in\mathbb{Z}\}$にしか値を取らない．
$$|45|_3=\fr{1}{9}$$
$$\abs{\fr{91}{108}}_3=81$$
$$|1000000|_3=\abs{\fr{1}{1000000}}_3=1$$
$p$進付値は$\mathbb{Q}$上の非Archimedes付値である．
- 定義から明白
- $x=0 \vee y=0$のときは明白．$x,y\in\mathbb{Q}^\times$に対し，
$$ |xy|_p=p^{-\ord_p(xy)}=p^{-(\ord_p(x)+\ord_p(y))}=p^{-\ord_p(x)}p^{-\ord_p(y)}=|x|_p |y|_p $$ - $x=0 \vee y=0$のときは明白．$x,y\in\mathbb{Q}^\times$に対し，
\begin{align} |x+y|_p=p^{-\ord_p(x+y)}&\le p^{-\min\{\ord_p(x),\ord_p(y)\}}\\ &=\max\{p^{-\ord_p(x)},p^{-\ord_p(y)}\}=\max\{|x|_p,|y|_p\} \end{align}
上の注意から，
$$
|x|_p\ne|y|_p\ \too\ |x+y|_p=\max\{|x|_p,|y|_p\}
$$
$p$進付値が誘導する$\mathbb{Q}$上の非Archimedes距離$d_p$を$p$進距離という．また，$p$進距離が誘導する位相を$p$進位相という．
$$ d_3\br{12,45}=\fr{1}{9},\ d_3\br{\fr{1}{6561},\fr{1}{6560}}=6561(=3^8) $$
$p$進位相での収束列の重要な例を挙げる．
(1) $\{p^n\}\subset\mathbb{Q}$は$p$進位相で収束する．実際，
$$
d_p(p^n,0)=|p^n|_p=\fr{1}{p^n}\to 0\ (n\to\infty)
$$
より，
$$
p^n\to 0\ (n\to\infty)
$$
(2) $\dps\left\{\sum_{k=0}^{n} p^{k}\right\}_n\subset\mathbb{Q}$は$p$進位相で収束する．実際，
\begin{align}
d_p\left(\sum_{k=0}^{n} p^{k},\fr{1}{1-p}\right)&=\abs{\sum_{k=0}^{n} p^{k}-\fr{1}{1-p}}_p\\
&=\abs{\fr{1-p^{n+1}}{1-p}-\fr{1}{1-p}}_p\\
&=\abs{\fr{p^{n+1}}{1-p}}_p\\
&=\fr{1}{p^{n+1}}\to 0\ (n\to\infty)
\end{align}
より，
$$
\sum_{k=0}^{n} p^{k}\to \fr{1}{1-p}\ (n\to\infty)
$$
$(\mathbb{Q},d_p)$は完備ではない．実際，
$$\dps\left\{\sum_{k=0}^{n} p^{k^2}\right\}_{n=0}^\infty \subset\mathbb{Q}$$
はCauchy列だが$\mathbb{Q}$の元に収束しない．
続き
続きの記事は$(\Q,d_p)$の完備化を考えることで$p$進体$\Q_p$を構成する．
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