メルカトル級数

はじめに

メルカトル級数が$\log 2$に収束することの証明ですが、現在では数多くの証明が知られています。今回はそのうち、(既出ですが)僕が発見したものを書こうと思います。

証明

メルカトル級数は、以下の形で与えられる級数です。
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$$
これの第$n$項について、
$$\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=(-1{)}^{n-1}{\int }_0^1{x}^{n-1}dx$$
が成り立つので、第$N$項までの部分和は、
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=1}^N\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}& =& \sum _{n=1}^N(-1{)}^{n-1}{\int }_0^1{x}^{n-1}dx\\ & =& {\int }_0^1\sum _{n=1}^N(-x{)}^{n-1}dx\\ & =& {\int }_0^1\frac{1-(-x{)}^N}{1+x}dx \\ & =& {\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx-{\int }_0^1\frac{(-x{)}^{N-1}}{1+x}dx\end{array}$$
であり、第2項について、
$$\begin{array}{rcl}\left|{\int }_0^1\frac{(-x{)}^{N-1}}{1+x}dx\right|& <& {\int }_0^1{x}^{N-1}dx\\ & =& \frac{1}{N}\end{array}$$
であるので、$N\to \mathrm{\infty }$としたときに第2項は0に収束します。なので、
$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\log 2$$
が得られます。

おわりに

この証明、割と汎用性が無いわけではないので気に入ってます。
はじめての記事でしたがどうでしょうか。なにかあったら教えてください。