Krull-Schmidt圏上の任意の有限生成射影加群は射影被覆を持つ
導入
今日もうちの業界のfolkloreをMathlogに投稿しておきます。KS圏について次の性質を頻繁に使います。
$\CC$をKrull-Schmidt圏とすると、任意の有限生成右$\CC$加群は射影被覆を持つ。
一般に環の場合は「任意の有限生成加群が射影被覆を持つ」環は半完全（semiperfect）環と呼ばれます。よって上の主張は**Krull-Schmidt圏は``半完全環''**と主張するものです。
実はこの定理は逆が成り立ちます。厳密にいうと、「冪等完備加法圏$\CC$に対して、$\CC$がKrull-Schmidtなことと、任意の有限生成右$\CC$加群が射影被覆を持つことは同値」です。最初は逆も示そうとしていましたが、割と長くなりそうだし、応用上は逆はほぼ用いないので、本記事では書きません。
この主定理はWell-known to expertsなfolkloreだと思われますが、あまり証明を見たことがありません。一応自分の学部時代の卒論に長々と書きましたが、 投稿者の最初の記事 の手法で割と短く証明ができることに気づいたので、ここで共有します（以下「記事」と略す）。
何に使うの？
KS圏上の関手圏を考えたとき、それの射影被覆をとりたくなることがよくあります。それに使います。
前提とする知識
Krull-Schmidt圏の定義、右極小の定義、加法圏上の加群の定義、射影被覆の定義を知っている人。とくに、 記事 を読んだ人を想定しています。
主定理の証明
次の命題が、 記事 の主定理と全く同様に証明できます。
$\AA$を加法圏、$\CC$を$\AA$の加法的部分圏で、$\CC$がKrull-Schmidt圏だとする。このとき、任意の$\AA$での射$f \colon X \to Y$で$X \in \CC$なものに対し、ある$X$の直和分解$X = X' \oplus X''$が存在し、$f$の行列表示が
$$
[f',0] \colon X' \oplus X'' \to A
$$
となり、かつ$f'$が右極小となるようなものが取れる。
記事 の主定理との違いは、もとの圏$\AA$をKrull-Schmidtであることを仮定していない点です。証明は、 記事 の主定理の証明と全く同じなので省略します。より詳しくいうと、 記事 で右極小バージョンを取り出したい射について、「$Y$の情報は何も使っていない」こと、つまりKSの仮定は$X$側にしか用いていないことから、同じ証明で不備はない（はず）です。
また、射影被覆については次の同値性が知られています。
$\AA$をアーベル圏、$\pi \colon P \surj X$を$\AA$の射影対象$P$からの全射とする。このとき$\pi$が射影被覆を与えることと、$\pi$が右極小なことは同値である。
射影被覆の定義は通常はsuperfluous submoduleとかを導入して面倒ですが、逆に上の特徴づけを使って「射影対象からの右極小な全射」と定義するほうが好きです。証明は演習問題または投稿者のノート Grothendieckアーベル圏の基礎 の命題2.8あたりを見てください（これもMathlogに投げたいけど、tikz-cdがないのできついです）。
さて上の射影被覆の特徴づけを用いれば、もう主定理の1から2をどうやって示すのか想像つくと思います。
$\CC$をKrull-Schmidt圏とし、$\Mod\CC$を右$\CC$加群の圏とする。このとき、任意の有限生成$\CC$加群$M$をとると、全射
$$
\CC(-,X) \xrightarrow{f} M \to 0
$$
が取れる。さて今、$\CC$の米田埋め込み$y \colon \CC \inj \Mod\CC$でのessential image $y(\CC)$を考えると米田より$y(\CC)$は$\CC$と圏同値だが、かつ$\CC$がKSなことより、$y(\CC)$は$\Mod\CC$の中の加法的部分圏かつKSである。よって補題2が使える（$\AA$として$\Mod\CC$を、$\CC$として$y(\CC)$をとる）ので、$f$を右極小成分とゼロ射の直和に分けられる。この右極小成分をとれば、これは$\Mod\CC$の射影対象からの右極小な全射になっているので（表現可能関手は射影的だったことに注意）、補題2より射影被覆である。
この証明では、具体的な射影被覆の構成を与えてはいません。ほんとに応用上便利なのは、環上の加群の場合と同じく「根基で割ってtopを考え、topがsimpleなのでその射影被覆をとって、それをliftすれば得られる」というものです。もちろんこの方法でも証明はできますが、準備がいろいろ必要なので、主定理を証明するだけなら右極小バージョンの存在を用いる上の証明のほうが短いです。