現代数学解説

Krull-Schmidt圏上の任意の有限生成射影加群は射影被覆を持つ

圏論,ホモロジー代数,代数学

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導入

今日もうちの業界のfolkloreをMathlogに投稿しておきます。KS圏について次の性質を頻繁に使います。

主定理

$C$ をKrull-Schmidt圏とすると、任意の有限生成右 $C$ 加群は射影被覆を持つ。

一般に環の場合は「任意の有限生成加群が射影被覆を持つ」環は半完全（semiperfect）環と呼ばれます。よって上の主張は**Krull-Schmidt圏は``半完全環''**と主張するものです。

実はこの定理は逆が成り立ちます。厳密にいうと、「冪等完備加法圏 $C$ に対して、 $C$ がKrull-Schmidtなことと、任意の有限生成右 $C$ 加群が射影被覆を持つことは同値」です。最初は逆も示そうとしていましたが、割と長くなりそうだし、応用上は逆はほぼ用いないので、本記事では書きません。

この主定理はWell-known to expertsなfolkloreだと思われますが、あまり証明を見たことがありません。一応自分の学部時代の卒論に長々と書きましたが、投稿者の最初の記事の手法で割と短く証明ができることに気づいたので、ここで共有します（以下「記事」と略す）。

何に使うの？

KS圏上の関手圏を考えたとき、それの射影被覆をとりたくなることがよくあります。それに使います。

前提とする知識

Krull-Schmidt圏の定義、右極小の定義、加法圏上の加群の定義、射影被覆の定義を知っている人。とくに、記事を読んだ人を想定しています。

主定理の証明

次の命題が、記事の主定理と全く同様に証明できます。

右極小への取り換え

$A$ を加法圏、 $C$ を $A$ の加法的部分圏で、 $C$ がKrull-Schmidt圏だとする。このとき、任意の $A$ での射 $f : X \to Y$ で $X \in C$ なものに対し、ある $X$ の直和分解 $X = X^{'} \oplus X^{″}$ が存在し、 $f$ の行列表示が
$[f^{'}, 0] : X^{'} \oplus X^{″} \to A$
となり、かつ $f^{'}$ が右極小となるようなものが取れる。

記事の主定理との違いは、もとの圏 $A$ をKrull-Schmidtであることを仮定していない点です。証明は、記事の主定理の証明と全く同じなので省略します。より詳しくいうと、記事で右極小バージョンを取り出したい射について、「 $Y$ の情報は何も使っていない」こと、つまりKSの仮定は $X$ 側にしか用いていないことから、同じ証明で不備はない（はず）です。

また、射影被覆については次の同値性が知られています。

射影被覆の定義の同値性

$A$ をアーベル圏、 $π : P ↠ X$ を $A$ の射影対象 $P$ からの全射とする。このとき $π$ が射影被覆を与えることと、 $π$ が右極小なことは同値である。

射影被覆の定義は通常はsuperfluous submoduleとかを導入して面倒ですが、逆に上の特徴づけを使って「射影対象からの右極小な全射」と定義するほうが好きです。証明は演習問題または投稿者のノート Grothendieckアーベル圏の基礎の命題2.8あたりを見てください（これもMathlogに投げたいけど、tikz-cdがないのできついです）。

さて上の射影被覆の特徴づけを用いれば、もう主定理の1から2をどうやって示すのか想像つくと思います。

主定理の証明

$C$ をKrull-Schmidt圏とし、 $Mod C$ を右 $C$ 加群の圏とする。このとき、任意の有限生成 $C$ 加群 $M$ をとると、全射
$C (-, X) \overset{f}{\to} M \to 0$
が取れる。さて今、 $C$ の米田埋め込み $y : C ↪ Mod C$ でのessential image $y (C)$ を考えると米田より $y (C)$ は $C$ と圏同値だが、かつ $C$ がKSなことより、 $y (C)$ は $Mod C$ の中の加法的部分圏かつKSである。よって補題2が使える（ $A$ として $Mod C$ を、 $C$ として $y (C)$ をとる）ので、 $f$ を右極小成分とゼロ射の直和に分けられる。この右極小成分をとれば、これは $Mod C$ の射影対象からの右極小な全射になっているので（表現可能関手は射影的だったことに注意）、補題2より射影被覆である。

この証明では、具体的な射影被覆の構成を与えてはいません。ほんとに応用上便利なのは、環上の加群の場合と同じく「根基で割ってtopを考え、topがsimpleなのでその射影被覆をとって、それをliftすれば得られる」というものです。もちろんこの方法でも証明はできますが、準備がいろいろ必要なので、主定理を証明するだけなら右極小バージョンの存在を用いる上の証明のほうが短いです。

投稿日：2020年11月15日