ライプニッツ級数

はじめに

今回は2通りの方法でライプニッツ級数を扱いたいと思います。1つ目は高校数学範囲内で、2つ目はアーベルの連続性定理を使用して証明します。この級数は僕の好きな級数のうちの一つで、twitterのヘッダーにもしています。なお、今回の手法はtwitterで助言をいただきながら完成させたもので、当然ながら既出です。それでもよければ是非読んでいってください。

証明 1

ライプニッツ級数は以下の形で与えられる級数です。
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$$
第$n$項は、
$$\frac{(-1{)}^n}{2n+1}={\int }_0^1(-x^2{)}^{n}dx$$
であるので、第$N$項までの部分和は、
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^N\frac{(-1{)}^n}{2n+1}& =& \sum _{n=0}^N{\int }_0^1(-x^2{)}^{n}dx\\ & =& {\int }_0^1\sum _{n=0}^N(-x^2{)}^{n}dx\\ & =& {\int }_0^1\frac{1-(-x^2{)}^{N+1}}{1+x^2}dx\\ & =& {\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx-{\int }_0^1\frac{(-x^2{)}^{N+1}}{1+x^2}dx\end{array}$$
であり、第2項について、
$$\begin{array}{rcl}\left|{\int }_0^1\frac{(-x^2{)}^{N+1}}{1+x^2}dx\right|& <& {\int }_0^1{x}^{2N+1}dx\\ & =& \frac{1}{2N+2}\end{array}$$
であり、$N\to \mathrm{\infty }$としたとき0に収束するので、
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{4}$$
が得られます。

証明 2

$\arctan x$のマクローリン展開を使用します。
$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}$$
であり、ここに$x=1$を代入するとライプニッツ級数となります。ですが、この級数は基本的には$|x|<1$の範囲でしか収束しません。そこで、$x$を実軸上負の方向から1に近づけると、アーベルの連続性定理からその極限は$\arctan 1$に収束するので、
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}$$
が示せました。

おわりに

証明2は、やや大道具を使っての証明でした。ある人の言葉を借りれば「ハエを波動砲で倒す」ようなものなのでしょうが、この方法、私は嫌いじゃないです。他の証明法も探してみたいですね。