平面代数曲線１（ベジエ曲線）
はじめに
数学のかんどころ12 平面代数曲線（共立出版）を読んで気になったこと，勉強したことを記録していく。
ベジエ曲線
平面上の$4$点${\rm P}_i = (a_i, b_i)$，$(i=0,1,2,3)$を定めておき，以下でパラメータ表示される曲線をベジエ曲線という（$0 \leq t \leq 1$）。
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = a_0(1-t)^3 + 3a_1(1-t)^2 t + 3a_2(1-t)t^2 + a_3t^3 \\
y = b_0(1-t)^3 + 3b_1(1-t)^2 t + 3b_2(1-t)t^2 + b_3t^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
特に$t = 0$のとき${\rm P}_0$を出発し，$t=1$のとき${\rm P}_3$に到達する。もちろん$t$について連続である。
GeoGebraによる描画
微分
ベジエ曲線の${\rm P}_0$における接線は直線${\rm P}_0 {\rm P}_1$,${\rm P}_3$における接線は直線${\rm P}_2 {\rm P}_3$である。
※曲線の端点では接線は定義されないが，ベジエ曲線がなめらかに延長されたと考える（ってことでいいのか？）。
$$
\frac{dy}{dt} = -3b_0(1-t)^2 + 6b1(1-t)t + 3b_1(1-t)^2-3b_2t^2 +6b_2(1-t)t +3b_3t^2 \\
\frac{dx}{dt} = -3a_0(1-t)^2 + 6a1(1-t)t + 3a_1(1-t)^2-3a_2t^2 +6a_2(1-t)t +3a_3t^2 \\
\frac{dy}{dx} \mid_{t = 0} = \frac{b_1-b_0}{a_1-a_0} \\
\frac{dy}{dx} \mid_{t = 1} = \frac{b_3-b_2}{a_3-a_2}
$$
となり，これらは直線${\rm P}_0 {\rm P}_1$，${\rm P}_2 {\rm P}_3$の傾きと一致する。
おまけ
ベジエ曲線の式を初めてみたときに，$n$次に拡張できそうだなと思って，調べてみたらやはりあるようでした。 Qiita ベジェ曲線の簡単なちょっと難しい話 #ベジェ曲線AC2015
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