平面代数曲線１（ベジエ曲線）

はじめに

数学のかんどころ12　平面代数曲線（共立出版）を読んで気になったこと，勉強したことを記録していく。

ベジエ曲線

平面上の $4$ 点 $P_{i} = (a_{i}, b_{i})$ ， $(i = 0, 1, 2, 3)$ を定めておき，以下でパラメータ表示される曲線をベジエ曲線という（ $0 \leq t \leq 1$ ）。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} x = a_{0} (1 - t)^{3} + 3 a_{1} (1 - t)^{2} t + 3 a_{2} (1 - t) t^{2} + a_{3} t^{3} \\ y = b_{0} (1 - t)^{3} + 3 b_{1} (1 - t)^{2} t + 3 b_{2} (1 - t) t^{2} + b_{3} t^{3} \end{cases} \end{array}$

特に $t = 0$ のとき $P_{0}$ を出発し， $t = 1$ のとき $P_{3}$ に到達する。もちろん $t$ について連続である。

GeoGebraによる描画

GeoGebra ベジエ曲線

微分

ベジエ曲線の $P_{0}$ における接線は直線 $P_{0} P_{1}$ , $P_{3}$ における接線は直線 $P_{2} P_{3}$ である。　　　　
※曲線の端点では接線は定義されないが，ベジエ曲線がなめらかに延長されたと考える（ってことでいいのか？）。

$\frac{d y}{d t} = - 3 b_{0} (1 - t)^{2} + 6 b 1 (1 - t) t + 3 b_{1} (1 - t)^{2} - 3 b_{2} t^{2} + 6 b_{2} (1 - t) t + 3 b_{3} t^{2} \frac{d x}{d t} = - 3 a_{0} (1 - t)^{2} + 6 a 1 (1 - t) t + 3 a_{1} (1 - t)^{2} - 3 a_{2} t^{2} + 6 a_{2} (1 - t) t + 3 a_{3} t^{2} \frac{d y}{d x} ∣_{t = 0} = \frac{b_{1} - b_{0}}{a_{1} - a_{0}} \frac{d y}{d x} ∣_{t = 1} = \frac{b_{3} - b_{2}}{a_{3} - a_{2}}$
となり，これらは直線 $P_{0} P_{1}$ ， $P_{2} P_{3}$ の傾きと一致する。