大学数学基礎解説

ピタゴラス数の積は60の倍数となることの証明

整数,高校数学,ピタゴラス数

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ピタゴラス数とは

ピタゴラス数

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を満たす自然数の組 $(a, b, c)$ をピタゴラス数という。

この記事では、中学生の頃に学習した三平方の定理（ピタゴラスの定理）を満たす自然数の組について記述する。

ピタゴラス数の積は60の倍数となる。

その主張の正しさを確認するために、例を見てみよう。

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ より、 $(3, 4, 5)$ はピタゴラス数である。
このとき $3 \times 4 \times 5 = 60$ となり、 $60$ の倍数である。

$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$ より、 $(5, 12, 13)$ はピタゴラス数である。
このとき $5 \times 12 \times 13 = 60 \times 13$ となり、 $60$ の倍数である。

証明

$60 = 3 \times 4 \times 5$ であることから、以下のステップで $a b c$ が $60$ 倍数であることを示す。

$a, b, c$ のいずれかは $3$ の倍数である。
$a, b, c$ のいずれかは $5$ の倍数である。
$a, b, c$ のいずれかは $4$ の倍数である。

3の倍数であることの証明

整数 $x$ において、 $x^{2}$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ である。

$x \equiv 0 (\mod 3)$ のとき、 $x^{2} \equiv 0 (\mod 3)$
$x \equiv 1 (\mod 3)$ のとき、 $x^{2} \equiv 1 (\mod 3)$
$x \equiv 2 (\mod 3)$ のとき、 $x^{2} \equiv 1 (\mod 3)$

以上より、 $x^{2}$ を $3$ で割った余りは $0$ または $1$ であることが分かる。

自然数 $a, b, c$ が $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を満たすとき、 $a, b, c$ のいずれかは $3$ の倍数である。

背理法

$a, b, c$ いずれも $3$ の倍数ではないと仮定する。
上の補題の証明から、 $a^{2} \equiv 1 (\mod 3)$ かつ $b^{2} \equiv 1 (\mod 3)$ を満たす。
したがって、 $a^{2} + b^{2} \equiv 2 (\mod 3)$ となる。
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ より、 $c^{2} \equiv 2 (\mod 3)$ となる。
上の補題よりこのような自然数 $c$ は存在しないため、矛盾。
したがって、 $a, b, c$ いずれかは $3$ の倍数であることが分かる。

5の倍数であることの証明

整数 $x$ において、 $x^{2}$ を $5$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかである。

$x \equiv 0 (\mod 5)$ のとき、 $x^{2} \equiv 0 (\mod 5)$
$x \equiv 1 (\mod 5)$ のとき、 $x^{2} \equiv 1 (\mod 5)$
$x \equiv 2 (\mod 5)$ のとき、 $x^{2} \equiv 4 (\mod 5)$
$x \equiv 3 (\mod 5)$ のとき、 $x^{2} \equiv 4 (\mod 5)$
$x \equiv 4 (\mod 5)$ のとき、 $x^{2} \equiv 1 (\mod 5)$

以上より、 $x^{2}$ を $5$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかであることが分かる。

自然数 $a, b, c$ が $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を満たすとき、 $a, b, c$ のいずれかは $5$ の倍数である。

$a, b, c$ いずれも $5$ の倍数ではないと仮定する。
上の補題の証明から、 $a^{2} \equiv 1 または 4 (\mod 5)$ かつ $b^{2} \equiv 1 または 4 (\mod 5)$ を満たす。
したがって、 $a^{2} + b^{2} \equiv 0, 2, 3 (\mod 5)$ のいずれかとなる。
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ より、 $c^{2} \equiv 0, 2, 3 (\mod 5)$ のいずれかとなる。
ここで、仮定より $c$ は $5$ の倍数ではないので $c^{2} \equiv 2, 3 (\mod 5)$ のいずれかとなるが、
上の補題よりこのような自然数 $c$ は存在しないため、矛盾。
したがって、 $a, b, c$ いずれかは $5$ の倍数であることが分かる。

4の倍数であることの証明

整数 $x$ において、 $x^{2}$ を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかである。

$x \equiv 0 (\mod 8)$ のとき、 $x^{2} \equiv 0 (\mod 8)$
$x \equiv 1 (\mod 8)$ のとき、 $x^{2} \equiv 1 (\mod 8)$
$x \equiv 2 (\mod 8)$ のとき、 $x^{2} \equiv 4 (\mod 8)$
$x \equiv 3 (\mod 8)$ のとき、 $x^{2} \equiv 1 (\mod 8)$
$x \equiv 4 (\mod 8)$ のとき、 $x^{2} \equiv 0 (\mod 8)$
$x \equiv 5 (\mod 8)$ のとき、 $x^{2} \equiv 1 (\mod 8)$
$x \equiv 6 (\mod 8)$ のとき、 $x^{2} \equiv 4 (\mod 8)$
$x \equiv 7 (\mod 8)$ のとき、 $x^{2} \equiv 1 (\mod 8)$

以上より、 $x^{2}$ を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ のいずれかであることが分かる。

自然数 $a, b, c$ が $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を満たすとき、 $a, b, c$ のいずれかは $4$ の倍数である。

$a, b, c$ いずれも $4$ の倍数ではないと仮定する。

上の補題より $a^{2} \equiv 0, 1, 4 (\mod 8)$ のいずれかとなるが、
いま $a$ は $4$ の倍数ではないと仮定しているため、 $a^{2} ≢ 0 (\mod 8)$ である。
従って、 $a^{2} \equiv 1, 4 (\mod 8)$ のいずれかである。

同様に、 $b^{2} \equiv 1, 4 (\mod 8)$ のいずれかであることも分かる。

このとき、 $a^{2} + b^{2} \equiv 0, 2, 5 (\mod 8)$ のいずれかとなる。
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ かつ $c$ は $4$ の倍数ではないことから
$c^{2} \equiv 2, 5 (\mod 8)$ のいずれかであることが分かる。

上の補題からこのような自然数 $c$ は存在しないため、矛盾。
したがって、 $a, b, c$ いずれかは $4$ の倍数であることが分かる。

ピタゴラス数 $(a, b, c)$ の積 $a b c$ は $60$ の倍数となる。

ピタゴラス数の積が60の倍数であることの証明

以上の3つの命題より、積 $a b c$ は $3$ の倍数かつ $4$ の倍数かつ $5$ の倍数となることが分かる。
従って、積 $a b c$ は $60$ の倍数となる。

さいごに

この記事を最後まで読んでくれた方に心から感謝を。

投稿日：2020年11月15日

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