ピタゴラス数の積は60の倍数となることの証明

• $x\equiv0\pmod{3}$のとき、$x^{2}\equiv0\pmod{3}$
• $x\equiv1\pmod{3}$のとき、$x^{2}\equiv1\pmod{3}$
• $x\equiv2\pmod{3}$のとき、$x^{2}\equiv1\pmod{3}$

以上より、$x^{2}$を$3$で割った余りは$0$または$1$であることが分かる。

$a,b,c$いずれも$3$の倍数ではないと仮定する。
上の補題の証明から、$a^{2}\equiv1\pmod{3}$かつ$b^{2}\equiv1\pmod{3}$を満たす。
したがって、$a^{2}+b^{2}\equiv2\pmod{3}$となる。
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$より、$c^{2}\equiv2\pmod{3}$となる。
上の補題よりこのような自然数$c$は存在しないため、矛盾。
したがって、$a,b,c$いずれかは$3$の倍数であることが分かる。

• $x\equiv0\pmod{5}$のとき、$x^{2}\equiv0\pmod{5}$
• $x\equiv1\pmod{5}$のとき、$x^{2}\equiv1\pmod{5}$
• $x\equiv2\pmod{5}$のとき、$x^{2}\equiv4\pmod{5}$
• $x\equiv3\pmod{5}$のとき、$x^{2}\equiv4\pmod{5}$
• $x\equiv4\pmod{5}$のとき、$x^{2}\equiv1\pmod{5}$

以上より、$x^{2}$を$5$で割った余りは$0,1,4$のいずれかであることが分かる。

$a,b,c$いずれも$5$の倍数ではないと仮定する。
上の補題の証明から、$a^{2}\equiv1または4\pmod{5}$かつ$b^{2}\equiv1または4\pmod{5}$を満たす。
したがって、$a^{2}+b^{2}\equiv0,2,3\pmod{5}$のいずれかとなる。
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$より、$c^{2}\equiv0,2,3\pmod{5}$のいずれかとなる。
ここで、仮定より$c$は$5$の倍数ではないので$c^{2}\equiv2,3\pmod{5}$のいずれかとなるが、
上の補題よりこのような自然数$c$は存在しないため、矛盾。
したがって、$a,b,c$いずれかは$5$の倍数であることが分かる。

• $x\equiv0\pmod{8}$のとき、$x^{2}\equiv0\pmod{8}$
• $x\equiv1\pmod{8}$のとき、$x^{2}\equiv1\pmod{8}$
• $x\equiv2\pmod{8}$のとき、$x^{2}\equiv4\pmod{8}$
• $x\equiv3\pmod{8}$のとき、$x^{2}\equiv1\pmod{8}$
• $x\equiv4\pmod{8}$のとき、$x^{2}\equiv0\pmod{8}$
• $x\equiv5\pmod{8}$のとき、$x^{2}\equiv1\pmod{8}$
• $x\equiv6\pmod{8}$のとき、$x^{2}\equiv4\pmod{8}$
• $x\equiv7\pmod{8}$のとき、$x^{2}\equiv1\pmod{8}$

以上より、$x^{2}$を$8$で割った余りは$0,1,4$のいずれかであることが分かる。

$a,b,c$いずれも$4$の倍数ではないと仮定する。

上の補題より$a^{2}\equiv0,1,4\pmod8$のいずれかとなるが、
いま$a$は$4$の倍数ではないと仮定しているため、$a^{2}\not\equiv0\pmod8$である。
従って、$a^{2}\equiv1,4\pmod8$のいずれかである。

同様に、$b^{2}\equiv1,4\pmod8$のいずれかであることも分かる。

このとき、$a^{2}+b^{2}\equiv0,2,5\pmod{8}$のいずれかとなる。
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$かつ$c$は$4$の倍数ではないことから
$c^{2}\equiv2,5\pmod{8}$のいずれかであることが分かる。

上の補題からこのような自然数$c$は存在しないため、矛盾。
したがって、$a,b,c$いずれかは$4$の倍数であることが分かる。

以上の3つの命題より、積$abc$は$3$の倍数かつ$4$の倍数かつ$5$の倍数となることが分かる。
従って、積$abc$は$60$の倍数となる。