極限の問題　解説

前回の記事に書いた問題の解説です。

$t\le 0$のとき、求める値は明らかに$0$なので、以下、$t>0$で考えます。
$f(x)>0$が狭義単調減少のとき、グラフの面積を考えれば、
$$f(x)>{\int }_x^{x+1}f(t)dt$$
が成り立ちます。いま、$f(x)=(\log x{)}^t/x$とすると、
$$f^{\prime }(x)=\frac{t(\log x{)}^{t-1}-(\log x{)}^t}{x^2}=\frac{(\log x{)}^{t-1}(t-\log x)}{x^2}$$
より、十分大きい$x$に対して$f^{\prime }(x)<0$で狭義単調減少です。したがって、
$$\frac{(\log x{)}^t}{x}>{\int }_x^{x+1}\frac{(\log u{)}^t}{u}du={[\frac{1}{t+1}(\log x{)}^{t+1}]}_x^{x+1}=\frac{1}{t+1}((\log (x+1){)}^{t+1}-(\log x{)}^{t+1})>0$$
となります。任意の$t$に対して
$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(\log x{)}^t}{x}=0$$
より、はさみうちの原理から、求める値は0です。