前回の記事に書いた問題の解説です。
$$ \lim_{x \to \infty}\left((\log (x+1))^t-(\log x)^t\right)=? $$
$t\leq 0$のとき、求める値は明らかに$0$なので、以下、$t>0$で考えます。
$f(x)>0$が狭義単調減少のとき、グラフの面積を考えれば、
$$
f(x)>\int_{x}^{x+1}f(t)dt
$$
が成り立ちます。いま、$f(x)=(\log x)^t/x$とすると、
$$
f'(x)=\frac{t(\log x)^{t-1}-(\log x)^t}{x^2}=\frac{(\log x)^{t-1}(t-\log x)}{x^2}
$$
より、十分大きい$x$に対して$f'(x)<0$で狭義単調減少です。したがって、
$$
\frac{(\log x)^t}{x}
>\int_{x}^{x+1}\frac{(\log u)^t}{u} du
=\left[ \frac{1}{t+1}(\log x)^{t+1}\right]_{x}^{x+1}
= \frac{1}{t+1}\left((\log (x+1))^{t+1}-(\log x)^{t+1}\right)>0
$$
となります。任意の$t$に対して
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^t}{x}=0
$$
より、はさみうちの原理から、求める値は0です。