極限の問題　解説

前回の記事に書いた問題の解説です。

$t\leq 0$のとき、求める値は明らかに$0$なので、以下、$t>0$で考えます。
$f(x)>0$が狭義単調減少のとき、グラフの面積を考えれば、
$$ f(x)>\int_{x}^{x+1}f(t)dt $$
が成り立ちます。いま、$f(x)=(\log x)^t/x$とすると、
$$ f'(x)=\frac{t(\log x)^{t-1}-(\log x)^t}{x^2}=\frac{(\log x)^{t-1}(t-\log x)}{x^2} $$
より、十分大きい$x$に対して$f'(x)<0$で狭義単調減少です。したがって、
$$ \frac{(\log x)^t}{x} >\int_{x}^{x+1}\frac{(\log u)^t}{u} du =\left[ \frac{1}{t+1}(\log x)^{t+1}\right]_{x}^{x+1} = \frac{1}{t+1}\left((\log (x+1))^{t+1}-(\log x)^{t+1}\right)>0 $$
となります。任意の$t$に対して
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^t}{x}=0 $$
より、はさみうちの原理から、求める値は0です。