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自己同型群が自明な群

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$$\newcommand{F}[1]{\mathbb{F}_{#1}} \newcommand{inv}[1]{{#1}^{-1}} \newcommand{iso}[0]{\cong} $$

この記事では、$C_n$で位数$n$の巡回群を表すこととする。

${\rm Aut}(G)$が自明群であるような群$G$は、$C_1$もしくは$C_2$と同型である。

$g\in G$を任意にとる。このとき、$\phi_g:h \mapsto g^{-1} hg$は自己同型であるので、仮定より、$\phi_g=id_G$。よって、$g\in Z(G)$となり、$g$は任意なので$G$はアーベル群。
よって、$f:g \mapsto g^{-1}$は自己同型写像となり、この写像も$id_G$と等しくなるので、$G$の任意の元の位数は高々$2$となる。
ゆえに、$G$$\F2$ベクトル空間とみなせる。任意のベクトル空間には基底があるので、集合$\Lambda$を、$G\iso \F2^{\Lambda}$となるようにとれる。$|\Lambda|\geq2$なら、基底をいれかえることで非自明な準同型が作れ、矛盾する。よって$|\Lambda|$$0$$1$となり、それぞれ$G$$C_1$に同型な場合と$C_2$に同型な場合に対応する。$\Box$

投稿日:20201115

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