自己同型群が自明な群

$g\in G$を任意にとる。このとき、${\varphi }_g:h\mapsto g^{-1}hg$は自己同型であるので、仮定より、${\varphi }_g=i{d}_G$。よって、$g\in Z(G)$となり、$g$は任意なので$G$はアーベル群。
よって、$f:g\mapsto g^{-1}$は自己同型写像となり、この写像も$i{d}_G$と等しくなるので、$G$の任意の元の位数は高々$2$となる。
ゆえに、$G$は${\mathbb{F}}_2$ベクトル空間とみなせる。任意のベクトル空間には基底があるので、集合$\mathrm{\Lambda }$を、$G\cong {\mathbb{F}}_2^{\mathrm{\Lambda }}$となるようにとれる。$|\mathrm{\Lambda }|\ge 2$なら、基底をいれかえることで非自明な準同型が作れ、矛盾する。よって$|\mathrm{\Lambda }|$は$0$か$1$となり、それぞれ$G$が$C_1$に同型な場合と$C_2$に同型な場合に対応する。$◻$