双曲線関数の個人的まとめ

定義から、
$$ \cosh^2 x=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4} $$
$$ \sinh^2 x=\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} $$
であるから、両辺引いて、
$$ \cosh^2 x-\sinh^2 x =1 $$
また、第2式については、第1式の両辺を$\cosh^2 x$で割れば成り立つ。

上4式については指数法則を用いて展開、因数分解すれば導ける。また下2式は、上4式を用いれば$\tanh x$の定義からすぐに導ける。なので証明は略する。

上2式はただ計算すれば導ける。第3式についても、商の微分を行い、定理1第2式を用いれば導ける。

$$ e^x=\cosh x+\sinh x $$
である。ここで、$\cosh x$は偶関数であり、$\sinh x$は奇関数であるから、それぞれのマクローリン展開は指数関数$e^x$をマクローリン展開した式の偶数次、奇数次の項が並ぶ。
$$ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$
であるから、定理は示された。

求める面積を$S$とおく。また、点$A$から$x$軸に下ろした垂線の足を$P$とする。すなわち、$P(\cosh \theta,0)$である。そして、三角形$OAP$の面積を$T$、線分$AP,BP$と双曲線$H$で囲まれた面積を$U$とする。すると、求める面積$S$は、$S=T-U$とかける。
$$ U=\int_1^{\cosh \theta}\sqrt{x^2-1}dx $$
であり、$x=\cosh t$と置換すると、
\begin{eqnarray*} U&=&\int_0^{\theta}\sinh^2 xdx \\ &=&\int_0^{\theta}\frac{\cosh 2t-1}{2}dt \\ &=&\frac{1}{2}\cosh \theta \sinh \theta-\frac{1}{2}\theta \end{eqnarray*}
であり、また、
$$ T=\frac12\cosh t\sinh t $$
であるから、
$$ S=T-U=\frac12 \theta $$

オイラーの公式から、
\begin{eqnarray*} e^{ix}=\cos x+i\sin x \\ e^{-ix}=\cos x-i\sin x \end{eqnarray*}
2式を足して、
$$ 2\cos x=e^{ix}+e^{-ix} \\ \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} $$
また、2式を引いて、
$$ 2i\sin x=e^{ix}-e^{-ix} \\ \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} $$

定理2で得られた等式において、$x\to ix$とすると、
\begin{eqnarray*} \cos ix&=&\cosh i(ix) \\ &=&\cosh (-x) \\ &=&\cosh x \\ \sin ix&=&\frac{1}{i}\sinh i(ix) \\ &=&-i\sinh(-x) \\ &=&i\sinh x \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \cos z&=&\cos (x+iy) \\ &=&\cos x\cos iy-\sin x\sinh iy \\ &=&\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y \\ \sin z&=&\sin(x+iy) \\ &=&\sin x\cos iy+\cos x\sin iy \\ &=&\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y \end{eqnarray*}