ここでは、僕が自分なりに調べた双曲線関数の性質などをまとめたいと思う。誰得でもない記事であることを注意しておこう。
双曲線関数を以下で定義する。
他にも、
双曲線関数の性質についてまとめておこう。もっとも単純な性質として、以下の式がある。
定義から、
であるから、両辺引いて、
また、第2式については、第1式の両辺を
これは、双曲線関数が双曲線
他には、三角関数と同じように加法定理が成立する。
上4式については指数法則を用いて展開、因数分解すれば導ける。また下2式は、上4式を用いれば
後に使うので、応用例を二つほど載せておこう。
微分についてもまとめておこう。
上2式はただ計算すれば導ける。第3式についても、商の微分を行い、定理1第2式を用いれば導ける。
双曲線関数の冪級数展開についてまとめておこう。各関数のマクローリン展開は以下で与えられる。
である。ここで、
であるから、定理は示された。
他にも、
最後に、あまり知られていないけど面白そうだと思った性質を挙げておく。
第一象限についてのみ考える。
求める面積を
であり、
であり、また、
であるから、
ここでは、双曲線関数と三角関数との関係についてみていきたいと思う。前章からわかるように、双曲線関数は三角関数で成り立つ性質と似たような性質が成り立っていることがわかったと思う。さらなる両者の関係を見る前に、オイラーの公式について触れておきたいと思う。
以降では、
長くなるので証明は略する。もしかしたら、いつか書くかもしれない。
オイラーの公式を用いた三角関数の表記についても書いておこう。
オイラーの公式から、
2式を足して、
また、2式を引いて、
また、定理2から次のことがわかる。
定理2で得られた等式において、
これを利用して、複素変数における三角関数の加法定理を認めると、次の式が示せる。
実数
これを用いた応用例として、有名な問題を一つ出しておきたいと思う。なお、解答は省略するので各自調べてもらいたい。
方程式
最後に、前章の定理5につながる話をしたいと思う。まず、三角関数について以下のことが成り立つ。(なお、証明は簡単のため例によって略)
弧度法で表された角
これと定理5を見比べると、曲線の方程式における
この記事を書いていて、やはり双曲線関数は美しい関数だなと再認識した。解析系は複素まで絡んでからが本番、そしてもっと美しい側面が見えてくるのだと思う。今回取り上げられなかった式もいつかは取り上げたい。ついでに証明略としてしまった部分についても追々記事を書いて行ければなあと思う。長くなってしまったが、最後まで読んでくれてありがとう。