放物線の相似

2つの放物線を $C:y=ax^2+\cdots , D:bx^2+\cdots(ab≠0,a≠b)$ とする。今、放物線$C,D$の頂点$A,B$からなる線分$AB$を|b|:|a|に分ける点$P$($ab>0$のときは外分,$ab<0$のときは内分)が原点$O$になるように放物線$C,D$を平行移動させ、平行移動させた後の放物線をそれぞれ$C',D'$、頂点を$A',B'$、線分$A'B'$を分ける点を$P'$とする。このとき、

$$ C':y=a(x-p)^2+q $$

というように頂点$C'$が$C'(p,q)$になったとする。

(ⅰ)$ab>0$($ab$が同符号)のとき
点$P$は線分A'B'を外分するので頂点$B'$は$B'(|\dfrac{a}{b}|p,|\dfrac{a}{b}|q)$、つまり$B'(\dfrac{a}{b}p,\dfrac{a}{b}q)$となる。

(ⅱ)$ab<0$($ab$が異符号)のとき
点$P$は線分A'B'を内分するので頂点$B'$は$B'(-|\dfrac{a}{b}|p,-|\dfrac{a}{b}|q)$、つまり$B'(\dfrac{a}{b}p,\dfrac{a}{b}q)$となる。

したがって(ⅰ),(ⅱ)より$ab$の符号に関わらず頂点$B'$の座標は$B'(\dfrac{a}{b}p,\dfrac{a}{b}q)$であるので

$$ D':y=b(x-\dfrac{a}{b}p)^2+\dfrac{a}{b}q $$

となるここでD'は

$$ \dfrac{y}{a/b}=a(\dfrac{x}{a/b}-p)^2+q $$

と式変形できる。
　したがって、$D'$はOを中心に$C'$を$\dfrac{a}{b}$倍した曲線、すなわち$CとD$は相似で、相似比は$|b|:|a|$である。また、相似の中心は点$P$。