ディガンマ関数の基本性質と積分表示

$$ \begin{eqnarray} \int_0^1 \frac{t^{x-1} - t^{y-1}}{1-t} dt &=&\lim_{a\rightarrow 0}\left(\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{a-1}dt-\int_0^1t^{y-1}(1-t)^{a-1}dt \right)\\ &=&\lim_{a\rightarrow 0}\left(B(x,a)-B(y,a) \right)\\ &=&\lim_{a\rightarrow 0}\left(\frac{\Gamma(x)\Gamma(a)}{\Gamma(x+a)}-\frac{\Gamma(y)\Gamma(a)}{\Gamma(y+a)} \right)\\ &=&\lim_{a\rightarrow 0} \frac{\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+a)}-\frac{\Gamma(y)}{\Gamma(y+a)}}{\frac1{\Gamma(a)}}\\ &=&\lim_{a\rightarrow 0} \frac{\frac{\Gamma(y)\psi(y+a)}{\Gamma(y+a)}-\frac{\Gamma(x)\psi(x+a)}{\Gamma(x+a)}}{-\frac{\psi(a)}{\Gamma(a)}}\\ &=&-\lim_{a\rightarrow 0}\left(\frac{\Gamma(y)\psi(y+a)}{\Gamma(y+a)}-\frac{\Gamma(x)\psi(x+a)}{\Gamma(x+a)}\right)\frac{\Gamma(a+1)}{a\psi(a+1)-1}\\ &=&\psi(y)-\psi(x) \quad\square \end{eqnarray} $$

ディガンマ関数の差の積分表示において$x=1$，$y=z$とすると，
$$\begin{eqnarray} \psi(z)&=&\psi(1)+\int_0^1 \frac{1-t^{z-1}}{1-t}dt \\ &=&\psi(1)+\int_0^\infty \frac{e^{-s}-e^{-zs}}{1-e^{-s}}ds\qquad〈t=e^{-s}〉 \end{eqnarray}$$
これの両辺を$m$回微分することで，積分表示が得られる．$\square$

$$ \begin{eqnarray} \int_1^\infty \frac{s^{z-1}-1}{s^z(s-1)}ds&=&\int_1^\infty \frac{1}{s^z(s-1)}\int_0^{z-1}\frac{d}{dt}s^tdtds \\ &=&\int_1^\infty \frac{\ln s}{s^z(s-1)}\int_0^{z-1}s^tdtds \\ &=&\int_0^{z-1}\int_1^\infty \frac{s^{t-z}\ln s}{s-1}dsdt \\ &=&\int_0^{z-1}\int_0^\infty \frac{xe^{x(t-z)}}{e^x-1}e^xdxdt\qquad 〈x=\ln s〉\\ &=&\int_0^{z-1}\int_0^\infty \frac{xe^{x(t-z)}}{1-e^{-x}}dxdt \\ &=&\int_0^{z-1}\psi^{(1)}(z-t)dt \\ &=&\left[-\psi(z-t)\right]_0^{z-1} \\ &=&-\psi(1)+\psi(z) \end{eqnarray} $$

$\psi(1)=-\gamma$より，$\displaystyle \psi(z)=-\gamma+\int_1^\infty \frac{s^{z-1}-1}{s^z(s-1)}ds$が示された．$\square$

$$ \begin{eqnarray} \int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)dt &=&\int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{1}{e^t-1}\right)dt+\int_0^\infty \left(\frac{1}{e^t-1}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)dt \\ &=&-\gamma+\int_0^\infty \frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}dt \end{eqnarray} $$

これは，ポリガンマ関数の積分表示の導出で出てきた形に他ならない．したがって，$\displaystyle \psi(z)=\int_0^\infty \left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)dt$が示された．$\square$

先ほど導出したディガンマ関数の積分表示➁を変形して，これを示す．
$$ \begin{eqnarray} \psi(z)&=&\int_0^\infty\left(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}\right)dt \\ &=&\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\int_\delta^\infty\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_\delta^\infty \frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}dt\right) \\ &=&\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\int_\delta^\infty\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{e^\delta-1}^\infty\frac{(1+s)^{-z}}{1-(1+s)^{-1}}\frac{ds}{1+s}\right) \qquad〈s=e^t-1〉 \\ &=&\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\int_\delta^\infty\frac{e^{-t}}{t}dt-\int_{e^\delta-1}^\infty\frac{1}{t(1+t)^z}dt\right) \end{eqnarray} $$
区間$[\delta,e^\delta-1]$で$\displaystyle\frac{1}{t(1+t)^z}$を評価すると，${\rm Re}(z)\gt0$より
$$ 0\leq\frac{1}{t(1+t)^z} \leq \frac{1}{t} \leq \frac{1}{\delta} $$
したがって，定積分を以下のように評価できる．
$$ \left|\int_\delta^{e^\delta-1}\frac{1}{t(1+t)^z}dt\right|\leq\left|\int_\delta^{e^\delta-1}\frac{1}{\delta}dt\right|\leq O(\delta) $$
これより，
$$ \begin{eqnarray} \psi(z)&=&\lim_{\delta\rightarrow+0}\left(\int_\delta^\infty \frac{e^{-t}}{t}dt-\int_\delta^\infty \frac{1}{t(1+t)^z}dt\right) \\ &=&\lim_{\delta\rightarrow+0}\int_\delta^\infty\left(e^{-t}-\frac{1}{(1+t)^z}\right)\frac{dt}{t} \\ &=&\int_0^\infty\left(e^{-t}-\frac{1}{(1+t)^z}\right)\frac{dt}{t} \end{eqnarray} $$
となるので，示された．$\square$