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[試験対策]ガンマ分布と友達になる

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ガンマ分布とは

ガンマ分布$\Gamma(\alpha,\beta)$はつぎのような密度関数からなる確率分布です.

ガンマ分布$\Gamma(\alpha,\beta)$の密度関数

$\alpha,\beta>0$とする.
$$ f(x;\alpha,\beta) = \begin{cases}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} &(x>0) \\ 0 &(x\leq 0) \end{cases} $$

なにやら複雑に見えますが,本質的な部分は$x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$の部分だけです.他は積分して1になるための規格化定数の意味しかありません.

特に$\alpha=1$とすると
$$ f(x;1,\beta) = \beta e^{-\beta x}\quad (x>0) $$
となり,平均$1/\beta$の指数分布となります.この性質を規格化定数の暗記に使うのもありだと思います.必要な方はどうぞ.

この分布には面白い性質がいろいろあるので紹介していきます!

再生性と指数分布との関係

この分布は再生性という面白い特徴を持ちます!

再生性

$X_1\sim \Gamma(\alpha_1,\beta),\ X_2\sim \Gamma(\alpha_2,\beta)$が独立な時,
$$X_1+X_2\sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2,\beta)$$

$\beta$は共通であることに注意してください.

ここで$\alpha_1=\alpha_2=1$の時を考えると,$X_1,X_2$はともに平均$1/\beta$の指数分布に従い,かつ定理1から$X_1+X_2$$\Gamma(2,\beta)$に従います.

帰納的に考えると,次のことが成り立ちます!

$X_1,\cdots X_n$が独立に平均$1/\beta$の指数分布に従う時,
$$\sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n,\beta)$$

つまり$\Gamma(\alpha,\beta)$平均$1/\beta$の指数分布が$\alpha$個集まったものだとイメージすればいいと思います($\alpha$は整数とは限りませんが..).わかりやすい!

さらに次の性質も有用です.

$X\sim\Gamma(\alpha,\beta)$のとき$k>0$に対し
$$kX\sim\Gamma\left(\alpha,\frac{\beta}{k}\right)$$

自由度$n$$\chi^2$分布は$\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$となるのでこの性質から,$\alpha$が半整数(1/2の倍数)のときは変数変換により$\chi^2$分布となることがわかります($\chi^2$分布表が使えます).

平均と分散と$k$次キュムラント

平均と分散を覚えるのは難しくないです.
まず指数分布の平均と分散はそれぞれ
$$\mu=\frac{1}{\beta},\quad \sigma^2=\frac{1}{\beta^2}$$
でした.指数分布の平均は単位が秒(など)で,標準偏差も秒で表せることを考えると,分散(=標準偏差の2乗)は覚えやすいと思います.単位を合わせるには平均を2乗するしかないです.

そして定理1の系と,独立な分布に従う確率変数の和の平均・分散が,それぞれの平均・分散の和になることを用いると,$\Gamma(\alpha,\beta)$の平均・分散は

$$\mu=\frac{\alpha}{\beta},\quad \sigma^2=\frac{\alpha}{\beta^2}$$

となることはイメージしやすいと思います.

ついでに,$k$次キュムラント$\kappa_k$は,$\kappa_1=\mu,\ \kappa_2=\sigma^2$であることを思い出すと

$$ \kappa_k = \frac{\alpha(k-1)!}{\beta^k} $$

とすぐ覚えられると思います.おまけ感覚でどうぞ.

その他の性質

指数分布の積率母関数が$$ M(t)=\frac{\beta}{\beta-t} $$
だったことを思い出すと
積率母関数は

$$ M(t)=\left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^\alpha $$

です.
分布関数は$\alpha$が整数の時

$$F(x)=1-e^{-\beta x}\sum_{k=0}^{\alpha-1}\frac{(\beta x)^k}{k!}$$

となります.ポアソン分布のにおいがする..

投稿日:20201115

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投稿者

xtt
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