[試験対策]ガンマ分布と友達になる
ガンマ分布とは
ガンマ分布$\Gamma(\alpha,\beta)$はつぎのような密度関数からなる確率分布です．
$\alpha,\beta>0$とする．
$$
f(x;\alpha,\beta) = \begin{cases}\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x} &(x>0) \\
0 &(x\leq 0)
\end{cases}
$$
なにやら複雑に見えますが，本質的な部分は$x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$の部分だけです．他は積分して1になるための規格化定数の意味しかありません．
特に$\alpha=1$とすると
$$
f(x;1,\beta) = \beta e^{-\beta x}\quad (x>0)
$$
となり，平均$1/\beta$の指数分布となります．この性質を規格化定数の暗記に使うのもありだと思います．必要な方はどうぞ．
この分布には面白い性質がいろいろあるので紹介していきます！
再生性と指数分布との関係
この分布は再生性という面白い特徴を持ちます！
$X_1\sim \Gamma(\alpha_1,\beta),\ X_2\sim \Gamma(\alpha_2,\beta)$が独立な時，
$$X_1+X_2\sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2,\beta)$$
$\beta$は共通であることに注意してください．
ここで$\alpha_1=\alpha_2=1$の時を考えると，$X_1,X_2$はともに平均$1/\beta$の指数分布に従い，かつ定理1から$X_1+X_2$は$\Gamma(2,\beta)$に従います．
帰納的に考えると，次のことが成り立ちます！
$X_1,\cdots X_n$が独立に平均$1/\beta$の指数分布に従う時，
$$\sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n,\beta)$$
つまり$\Gamma(\alpha,\beta)$は平均$1/\beta$の指数分布が$\alpha$個集まったものだとイメージすればいいと思います($\alpha$は整数とは限りませんが..)．わかりやすい！
さらに次の性質も有用です．
$X\sim\Gamma(\alpha,\beta)$のとき$k>0$に対し
$$kX\sim\Gamma\left(\alpha,\frac{\beta}{k}\right)$$
自由度$n$の$\chi^2$分布は$\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$となるのでこの性質から，$\alpha$が半整数(1/2の倍数)のときは変数変換により$\chi^2$分布となることがわかります($\chi^2$分布表が使えます)．
平均と分散と$k$次キュムラント
平均と分散を覚えるのは難しくないです．
まず指数分布の平均と分散はそれぞれ
$$\mu=\frac{1}{\beta},\quad \sigma^2=\frac{1}{\beta^2}$$
でした．指数分布の平均は単位が秒(など)で，標準偏差も秒で表せることを考えると，分散(＝標準偏差の2乗)は覚えやすいと思います．単位を合わせるには平均を2乗するしかないです．
そして定理1の系と，独立な分布に従う確率変数の和の平均・分散が，それぞれの平均・分散の和になることを用いると，$\Gamma(\alpha,\beta)$の平均・分散は
$$\mu=\frac{\alpha}{\beta},\quad \sigma^2=\frac{\alpha}{\beta^2}$$
となることはイメージしやすいと思います．
ついでに，$k$次キュムラント$\kappa_k$は，$\kappa_1=\mu,\ \kappa_2=\sigma^2$であることを思い出すと
$$ \kappa_k = \frac{\alpha(k-1)!}{\beta^k} $$
とすぐ覚えられると思います．おまけ感覚でどうぞ．
その他の性質
指数分布の積率母関数が$$
M(t)=\frac{\beta}{\beta-t}
$$
だったことを思い出すと
積率母関数は
$$ M(t)=\left(\frac{\beta}{\beta-t}\right)^\alpha $$
です．
分布関数は$\alpha$が整数の時
$$F(x)=1-e^{-\beta x}\sum_{k=0}^{\alpha-1}\frac{(\beta x)^k}{k!}$$
となります．ポアソン分布のにおいがする..
