[試験対策]ガンマ分布と友達になる

ガンマ分布とは

ガンマ分布$\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$はつぎのような密度関数からなる確率分布です．

なにやら複雑に見えますが，本質的な部分は$x^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}$の部分だけです．他は積分して1になるための規格化定数の意味しかありません．

特に$\alpha =1$とすると
$$f(x;1,\beta )=\beta e^{-\beta x}(x>0)$$
となり，平均$1/\beta$の指数分布となります．この性質を規格化定数の暗記に使うのもありだと思います．必要な方はどうぞ．

この分布には面白い性質がいろいろあるので紹介していきます！

再生性と指数分布との関係

この分布は再生性という面白い特徴を持ちます！

$\beta$は共通であることに注意してください．

ここで${\alpha }_1={\alpha }_2=1$の時を考えると，$X_1,X_2$はともに平均$1/\beta$の指数分布に従い，かつ定理1から$X_1+X_2$は$\mathrm{\Gamma }(2,\beta )$に従います．

帰納的に考えると，次のことが成り立ちます！

つまり$\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$は平均$1/\beta$の指数分布が$\alpha$個集まったものだとイメージすればいいと思います($\alpha$は整数とは限りませんが..)．わかりやすい！

さらに次の性質も有用です．

自由度$n$の${\chi }^2$分布は$\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$となるのでこの性質から，$\alpha$が半整数(1/2の倍数)のときは変数変換により${\chi }^2$分布となることがわかります(${\chi }^2$分布表が使えます)．

平均と分散と$k$次キュムラント

平均と分散を覚えるのは難しくないです．
まず指数分布の平均と分散はそれぞれ
$$\mu =\frac{1}{\beta },{\sigma }^2=\frac{1}{{\beta }^2}$$
でした．指数分布の平均は単位が秒(など)で，標準偏差も秒で表せることを考えると，分散(＝標準偏差の2乗)は覚えやすいと思います．単位を合わせるには平均を2乗するしかないです．

そして定理1の系と，独立な分布に従う確率変数の和の平均・分散が，それぞれの平均・分散の和になることを用いると，$\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$の平均・分散は

となることはイメージしやすいと思います．

ついでに，$k$次キュムラント${\kappa }_k$は，${\kappa }_1=\mu ,{\kappa }_2={\sigma }^2$であることを思い出すと

とすぐ覚えられると思います．おまけ感覚でどうぞ．

その他の性質

指数分布の積率母関数が$$M(t)=\frac{\beta }{\beta -t}$$
だったことを思い出すと
積率母関数は

です．
分布関数は$\alpha$が整数の時

となります．ポアソン分布のにおいがする..