Oppenheimの不等式

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Oppenheimの不等式

三角形 $A B C$ の辺の長さを $B C = a$ , $C A = b$ , $A B = c$ とし、面積を $[A B C]$ と書く。
このとき、任意の非負実数 $x, y, z$ に対し次がなりたつ:
$x a^{2} + y b^{2} + z c^{2} \geq 4 [A B C] \sqrt{x y + y z + z x}$

全体的に式が横に長いので、スライドしたり横画面にしたりしてください。

証明

以下、 $△ ABC$ についてその角度を $∠ C A B = θ_{1}$ , $∠ A B C = θ_{2}$ , $∠ B C A = θ_{3}$ とし、外接円の半径を $R$ とする。

$4 R = \frac{a b c}{[A B C]}$

Wolstenholmeの不等式

任意の実数 $x$ , $y$ , $z$ と正の整数 $n$ に対して、
$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 2 (- 1)^{n + 1} (y z \cos n θ_{1} + z x \cos n θ_{2} + x y \cos n θ_{3})$

補題3

特に横に長い数式が続きます

不等式を簡単な形にしていく。
$x^{2} + 2 x (- 1)^{n} (z \cos n θ_{2} + y \cos n θ_{3}) + y^{2} + z^{2} + 2 y z (- 1)^{n} \cos n θ_{1} \geq 0$
を示せばいいが、 $x$ についての部分は平方完成して
$(x + (- 1)^{n} (z \cos n θ_{2} + y \cos n θ_{3}))^{2} - (z \cos n θ_{2} + y \cos n θ_{3})^{2}$
となるから、
$y^{2} + z^{2} + 2 y z (- 1)^{n} \cos n θ_{1} - z^{2} \cos^{2} (n θ_{2}) - 2 y z \cos n θ_{2} \cos n θ_{3} - y^{2} \cos^{2} (n θ_{3}) \geq 0$
に帰着される。結局
$y^{2} \sin^{2} (n θ_{3}) + z^{2} \sin^{2} (n θ_{2}) + 2 y z ((- 1)^{n} \cos n θ_{1} - \cos n θ_{2} \cos n θ_{3}) \geq 0$
を示せば十分である。 $n θ_{1} + n θ_{2} + n θ_{3} = n π$ から
$\begin{aligned} (- 1)^{n} \cos n θ_{1} & = (- 1)^{n} \cos (n π - n θ_{2} - n θ_{3}) \\ = (- 1)^{n} ((- 1)^{n} \cos (n θ_{2} + n θ_{3})) \\ = \cos n θ_{2} \cos n θ_{3} - \sin n θ_{2} \sin n θ_{3} \end{aligned}$
が成立して、
$\begin{aligned} y^{2} \sin^{2} (n θ_{3}) + z^{2} \sin^{2} (n θ_{2}) + 2 y z ((- 1)^{n} \cos n θ_{1} - \cos n θ_{2} \cos n θ_{3}) \\ = & y^{2} \sin^{2} (n θ_{3}) - 2 y z \sin n θ_{2} \sin n θ_{3} + z^{2} \sin^{2} (n θ_{2}) \\ = & (y \sin n θ_{3} - z \sin n θ_{2})^{2} \\ \geq & 0 \end{aligned}$
となってOK。等号成立は最後の式と対称性から
$x : y : z = \sin n θ_{1} : \sin n θ_{2} : \sin n θ_{3}$
である。

任意の実数 $x$ , $y$ , $z$ に対し、
$R^{2} (x + y + z)^{2} \geq y z a^{2} + z x b^{2} + x y c^{2}$

補題2で $n = 2$ として
$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq - 2 (y z \cos 2 θ_{1} + z x \cos 2 θ_{2} + x y \cos 2 θ_{3})$
がなりたつ。 $\cos 2 θ_{i} = 1 - 2 \sin^{2} θ_{i}$ を使って書き直せば、
$(x + y + z)^{2} \geq 4 (y z \sin^{2} θ_{1} + z x \sin^{2} θ_{2} + x y \sin^{2} θ_{3})$
を得る。正弦定理より $\sin^{2} θ_{1} = \frac{a^{2}}{4 R^{2}}$ が（ $θ_{2}$ , $θ_{3}$ についても同様に）なりたつから、整理して
$R^{2} (x + y + z)^{2} \geq y z a^{2} + z x b^{2} + x y c^{2} .$
等号は $x : y : z = \sin 2 θ_{1} : \sin 2 θ_{2} : \sin 2 θ_{3}$ で成立。

以上を使ってOppenheimを示す。

Oppenheimの不等式

補題3の $x$ , $y$ , $z$ を $x a^{2}$ , $y b^{2}$ , $z c^{2}$ に置き換えて
$R^{2} (x a^{2} + y b^{2} + z c^{2})^{2} \geq a^{2} b^{2} c^{2} (y z + z x + x y)$
を得る。公式より $a^{2} b^{2} c^{2} = 16 R^{2} [A B C]^{2}$ となるから、上の式は
$R^{2} (x a^{2} + y b^{2} + z c^{2})^{2} \geq 16 R^{2} [A B C]^{2} (x y + y z + z x)$
となる。両辺 $R^{2}$ で割り、平方根をとって
$x a^{2} + y b^{2} + z c^{2} \geq 4 [A B C] \sqrt{x y + y z + z x}$
となりヨシ。
等号成立は $x a^{2} : y b^{2} : z c^{2} = \sin 2 θ_{1} : \sin 2 θ_{2} : \sin 2 θ_{3}$ のときだが、 $\sin 2 θ_{i} = 2 \sin θ_{i} \cos θ_{i}$ と正弦定理からこれは
$x a : y b : z c = \cos θ_{1} : \cos θ_{2} : \cos θ_{3}$
と書ける。余弦定理で $\cos$ を書き直して、等号成立条件は
$x : y : z = b^{2} + c^{2} - a^{2} : c^{2} + a^{2} - b^{2} : a^{2} + b^{2} - c^{2}$
となる。

使い道

Weitzenböckの不等式

三角形 $A B C$ に対して
$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 \sqrt{3} [A B C]$

これはOppenheimの不等式で $x = y = z = 1$ とすれば得られます。東工大でも出てましたね。
Weitzenböckは対称的なので正攻法でもそこまで面倒なく証明できますが、次はどうでしょう．

$\frac{\sin^{2} θ_{1} + 2 \sin^{2} θ_{2} + 3 \sin^{2} θ_{3}}{\sin θ_{1} \sin θ_{2} \sin θ_{3}}$ の最小値は？

簡単な計算でこの式は $\frac{a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}}{2 [A B C]}$ になることが分かります．もう暗算で出ますね、最小値は $2 \sqrt{11}$ です．
これを正攻法で解こうと思ったら（対称性がないので） $b$ , $c$ を固定して増減を調べて〜とそこそこ手間がかかります（多分。綺麗な解答をご存知の方は教えてください）。でもOppenheimなら好きに $x$ , $y$ , $z$ が取れるので最高ですね。