三角形
このとき、任意の非負実数
全体的に式が横に長いので、スライドしたり横画面にしたりしてください。
以下、
任意の実数
特に横に長い数式が続きます
不等式を簡単な形にしていく。
を示せばいいが、
となるから、
に帰着される。結局
を示せば十分である。
が成立して、
となってOK。等号成立は最後の式と対称性から
である。
任意の実数
補題2で
がなりたつ。
を得る。正弦定理より
等号は
以上を使ってOppenheimを示す。
補題3の
を得る。公式より
となる。両辺
となりヨシ。
等号成立は
と書ける。余弦定理で
となる。
三角形
これはOppenheimの不等式で
Weitzenböckは対称的なので正攻法でもそこまで面倒なく証明できますが、次はどうでしょう.
簡単な計算でこの式は
これを正攻法で解こうと思ったら(対称性がないので)
日本語でこの幾何不等式(とWolstenholmeの不等式)に触れているサイトが見当たらなかったので書いてみました。知っていて損することはない面白い不等式だと思います、特に得することも無いと思いますが。合コンとかに活かしてください。