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Oppenheimの不等式

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Oppenheimの不等式

三角形ABCの辺の長さをBC=a, CA=b, AB=cとし、面積を[ABC]と書く。
このとき、任意の非負実数x,y,zに対し次がなりたつ:
xa2+yb2+zc24[ABC]xy+yz+zx

全体的に式が横に長いので、スライドしたり横画面にしたりしてください。

証明

以下、ABCについてその角度をCAB=θ1, ABC=θ2, BCA=θ3とし、外接円の半径をRとする。

4R=abc[ABC]

Wolstenholmeの不等式

任意の実数x,y,zと正の整数nに対して、
x2+y2+z22(1)n+1(yzcosnθ1+zxcosnθ2+xycosnθ3)

補題3

特に横に長い数式が続きます

不等式を簡単な形にしていく。
x2+2x(1)n(zcosnθ2+ycosnθ3)+y2+z2+2yz(1)ncosnθ10
を示せばいいが、xについての部分は平方完成して
(x+(1)n(zcosnθ2+ycosnθ3))2(zcosnθ2+ycosnθ3)2
となるから、
y2+z2+2yz(1)ncosnθ1z2cos2(nθ2)2yzcosnθ2cosnθ3y2cos2(nθ3)0
に帰着される。結局
y2sin2(nθ3)+z2sin2(nθ2)+2yz((1)ncosnθ1cosnθ2cosnθ3)0
を示せば十分である。nθ1+nθ2+nθ3=nπから
(1)ncosnθ1=(1)ncos(nπnθ2nθ3)=(1)n((1)ncos(nθ2+nθ3))=cosnθ2cosnθ3sinnθ2sinnθ3
が成立して、
y2sin2(nθ3)+z2sin2(nθ2)+2yz((1)ncosnθ1cosnθ2cosnθ3)=y2sin2(nθ3)2yzsinnθ2sinnθ3+z2sin2(nθ2)=(ysinnθ3zsinnθ2)20
となってOK。等号成立は最後の式と対称性から
x:y:z=sinnθ1:sinnθ2:sinnθ3
である。

任意の実数x, y, zに対し、
R2(x+y+z)2yza2+zxb2+xyc2

補題2でn=2として
x2+y2+z22(yzcos2θ1+zxcos2θ2+xycos2θ3)
がなりたつ。cos2θi=12sin2θiを使って書き直せば、
(x+y+z)24(yzsin2θ1+zxsin2θ2+xysin2θ3)
を得る。正弦定理よりsin2θ1=a24R2が(θ2, θ3についても同様に)なりたつから、整理して
R2(x+y+z)2yza2+zxb2+xyc2.
等号はx:y:z=sin2θ1:sin2θ2:sin2θ3で成立。

以上を使ってOppenheimを示す。

Oppenheimの不等式

補題3のx, y, zxa2, yb2, zc2に置き換えて
R2(xa2+yb2+zc2)2a2b2c2(yz+zx+xy)
を得る。公式よりa2b2c2=16R2[ABC]2となるから、上の式は
R2(xa2+yb2+zc2)216R2[ABC]2(xy+yz+zx)
となる。両辺R2で割り、平方根をとって
xa2+yb2+zc24[ABC]xy+yz+zx
となりヨシ。
等号成立はxa2:yb2:zc2=sin2θ1:sin2θ2:sin2θ3のときだが、sin2θi=2sinθicosθiと正弦定理からこれは
xa:yb:zc=cosθ1:cosθ2:cosθ3
と書ける。余弦定理でcosを書き直して、等号成立条件は
x:y:z=b2+c2a2:c2+a2b2:a2+b2c2
となる。

使い道

Weitzenböckの不等式

三角形ABCに対して
a2+b2+c243[ABC]

これはOppenheimの不等式でx=y=z=1とすれば得られます。東工大でも出てましたね。
Weitzenböckは対称的なので正攻法でもそこまで面倒なく証明できますが、次はどうでしょう.

sin2θ1+2sin2θ2+3sin2θ3sinθ1sinθ2sinθ3の最小値は?

簡単な計算でこの式はa2+2b2+3c22[ABC]になることが分かります.もう暗算で出ますね、最小値は211です.
これを正攻法で解こうと思ったら(対称性がないので)b, cを固定して増減を調べて〜とそこそこ手間がかかります(多分。綺麗な解答をご存知の方は教えてください)。でもOppenheimなら好きにx, y, zが取れるので最高ですね。

いかがでしたか?

日本語でこの幾何不等式(とWolstenholmeの不等式)に触れているサイトが見当たらなかったので書いてみました。知っていて損することはない面白い不等式だと思います、特に得することも無いと思いますが。合コンとかに活かしてください。

投稿日:20201116
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