積分の計算(1)

問題

今回計算する積分：

$C$はカタランの定数

解答

$2i\sin x=\sinh ix$より, 上式は
$$=2i{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{e^{ix}+e^{-ix}}dx=2i{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x{e}^{-ix}}{1-e^{-2ix}}dx$$
無限等比級数の和の公式を逆に使い, 級数は積分範囲で一様収束するので$\sum$と$\int$を交換します.
$$=2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x{e}^{-(2n-1)ix}dx$$
部分積分をして$x{e}^{(\cdots )}$を処理します.
$$\begin{array}{rl}& =2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{x{e}^{-(2n-1)ix}}{-(2n-1)i}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}+2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n-1)i}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-(2n-1)ix}dx\\ & =2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\frac{\pi }{2}(-1{)}^{n}i}{-(2n-1)i}+2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n-1)i}\cdot \frac{(-1{)}^{n}i}{-(2n-1)i}-2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n-1)i}\cdot \frac{1}{-(2n-1)i}\\ & =\pi i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n-1{)}^2}-2i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n-1{)}^2}\end{array}$$
ここがわたしの1番好きなところで, この1行に異なる3つの有名な無限級数が並んでいて美しいと思いました.
左から順に「ライプニッツの公式 (グレゴリー・ライプニッツ級数)」「カタランの定数 (ディリクレの$\beta$関数の特殊値)」「ゼータ関数の特殊値 (バーゼル問題)」です.

以上より,
$$=\frac{{\pi }^2}{4}i+2C+-2i\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=2C$$
(ここで1,3項目が打ち消すあたりも良いですね)
$$\therefore {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{\sin x}dx=2C$$