大学数学基礎解説

【積分の計算 #2】x/sin(x)

積分

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問題

次の積分の値を求めていきます:

$$ I=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{x}{\sin x}dx$$

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解答

変数を置換

$\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}$とすると, $\displaystyle dx=\frac{2\,dt}{1+t^2},\ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}$となるので,
\begin{align*} I&=\int_0^1(2\tan^{-1}t)\cdot\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\,dt\\ &=2\int_0^1\frac{\tan^{-1}t}{t}\,dt \end{align*}
となります.

高校数学のおさらい

\begin{align*} t^2&=\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\\ t^2(1+\cos x)&=1-\cos x\\ (1+t^2)\cos x&=1-t^2\\ \cos x&=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ 1-\cos^2x&=\frac{1+t^4+2t^2}{(1+t^2)^2}-\frac{1+t^4-2t^2}{(1+t^2)^2}=\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}\\ \sin x&=\frac{2t}{1+t^2}. \end{align*}

級数展開する

次に, $\tan^{-1}x$のマクローリン展開より,
\begin{align*} =2\int_0^1\frac{1}{t}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}t^{2n+1}\,dt. \end{align*}

もし, $\int$と$\sum$を交換しても等しいなら,
\begin{align*} =2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}\int_0^1t^{2n}\,dt. \end{align*}

しかし, 任意の$0< t<1,\ n\geq 0$に対して常に$t^{2n}>0$であることは明らかなので, トネリの定理より, 交換前後の式は等しいです.

仕上げ

以上より,
\begin{align*} &=2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}\left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^1\\ &=2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\\ &=\boldsymbol{2G}. \end{align*}
ただし, $G$はカタラン定数.