積分の計算(1)
問題
今回計算する積分：
$C$はカタランの定数
解答
$2i\sin x=\sinh ix$より, 上式は
$$=2i\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{x}{e^{ix}+e^{-ix}}dx=2i\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{xe^{-ix}}{1-e^{-2ix}}dx$$
無限等比級数の和の公式を逆に使い, 級数は積分範囲で一様収束するので$\sum$と$\int$を交換します.
$$=2i\sum_{n=1}^\infty\int_0^\frac{\pi}{2}xe^{-(2n-1)ix}dx$$
部分積分をして$xe^{(\cdots)}$を処理します.
\begin{align*}
&=2i\sum_{n=1}^\infty\left[\frac{xe^{-(2n-1)ix}}{-(2n-1)i}\right]_0^\frac{\pi}{2}+2i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)i}\int_0^\frac{\pi}{2}e^{-(2n-1)ix}dx\\
&=2i\sum_{n=1}^\infty\frac{\frac{\pi}{2}(-1)^ni}{-(2n-1)i}+2i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)i}\cdot\frac{(-1)^ni}{-(2n-1)i}-2i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)i}\cdot\frac{1}{-(2n-1)i}\\
&=\pi i\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^2}-2i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)^2}
\end{align*}
ここがわたしの1番好きなところで, この1行に異なる3つの有名な無限級数が並んでいて美しいと思いました.
左から順に「ライプニッツの公式 (グレゴリー・ライプニッツ級数)」「カタランの定数 (ディリクレの$\beta$関数の特殊値)」「ゼータ関数の特殊値 (バーゼル問題)」です.
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots=\frac{\pi}{4}$$
逆正接関数$\tan^{-1}x$($\arctan x$)のマクローリン展開で$x=\frac{\pi}{4}$としたもの
ディリクレの$\beta$関数
$$\beta(s)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}$$
において
$$\beta(2)=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\cdots=C$$
($C$はカタランの定数)
※ 先ほどのライプニッツの公式は$\beta(1)$にあたる
リーマンの$\zeta$関数
$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$$
において
$$\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$
以上より,
$$=\frac{\pi^2}{4}i+2C+-2i\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=2C$$
(ここで1,3項目が打ち消すあたりも良いですね)
$$\therefore\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{x}{\sin x}dx=2C$$