$z$変換を用いてメルカトル級数の値を求める
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}=log(2) $$
$$
f(n)=\frac{(-1)^{n-1}}{n} u(n-1) \;\;(u(n):単位階関数)
$$を$z$変換する。$z$変換の定義から
$$
\BEQ
F(z)&=&\ZT[\frac{(-1)^{n-1}}{n} u(n-1)]
\\&=&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}z^{-n}u(n-1)
\\&=&\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}z^{-n} && \because k\lt0でu(k)=0,k\ge0でu(k)=1
\EEQ
$$$F(z)$の収束領域を交代級数の収束判定法を用いて確認する。$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}z^{-n}
=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}z^{-n}
$$交代級数の収束条件から$$
\BEQ
\lim_{n \to \infty} \frac{z^{-n}}{n} =\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left(\frac{1}{z}\right)^n= 0
\EEQ
$$このとき$z$が$\frac{1}{|z|} \le 1 $を満たせば条件を満たす。よって$F(z)$の収束領域は$|z| \ge 1$。
$F(z)$を収束領域側から近づけて極限をとった$lim_{z \to 1^{+}}F(z)$がメルカトル級数の値になる。
まず、$F(z)$の$z$変換にあたり$z$変換の積分則を使う。$z$変換の積分則は$$
G(z)=\ZT[\frac{h(n)}{n}]=-\int_{\infty}^{z} τ^{-1} H(τ)dτ+lim_{n\to 0} h(n)
$$ただし、$H(z)=\ZT[h(n)]\;,\;lim_{n\to 0} h(n)=0$。
ここで$h(n)=\frac{1}{n} u(n-1)$とおくと$lim_{n\to 0}\frac{1}{n} u(n-1)=0$となり積分則の条件を満たすので
$$
\BEQ
G(z)&=&\ZT[\frac{1}{n} u(n-1)]
\\&=&-\int_{\infty}^{z} τ^{-1} \ZT[u(n-1)]dτ && \because 積分則
\\&=&-\int_{\infty}^{z} τ^{-1} τ^{-1}\ZT[u(n)]dτ && \because z変換のシフト則
\\&=&-\int_{\infty}^{z} τ^{-2} \frac{τ}{τ-1}dτ && \because 単位階段関数のz変換
\\&=&-\int_{\infty}^{z} \frac{1}{τ(τ-1)}dτ
\\&=&-\int_{\infty}^{z} \frac{1}{τ-1}-\frac{1}{τ}dτ && \because 部分分数分解
\\&=&-\left[log(τ-1)-log(τ)\right]_{\infty}^{z}
\\&=&-\left[log(1-τ^{-1})\right]_{\infty}^{z}
\\&=&-[log(1-z^{-1})-log(1)]
\\&=&-log(1-z^{-1})
\EEQ
$$よって
$$
\BEQ
F(z)&=&\ZT[f(n)]
\\&=&\ZT[(-1)^{n-1}\frac{1}{n} u(n-1)]
\\&=&-\ZT[(-1)^n \frac{1}{n} u(n-1)]
\\&=&-G(\frac{z}{-1}) && \because z変換のスケーリング則
\\&=&-G(-z)
\\&=&-(-log(1-(-z)^{-1}))
\\&=& log(1+z^{-1})
\EEQ
$$ゆえに$$
lim_{z \to 1^{+}}F(z)=lim_{z \to 1^{+}}log(1+z^{-1})=log(2)
$$となりメルカトル級数の値が求められた。