z変換：メルカトル級数の値を求める

$$f(n)=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}u(n-1)(u(n):単位階関数)$$を$z$変換する。$z$変換の定義から
$$\begin{array}{rcl}F(z)& =& \mathcal{Z}[\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}u(n-1)]\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{z}^{-n}u(n-1)\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{z}^{-n}& & \because k<0でu(k)=0,k\ge 0でu(k)=1\end{array}$$$F(z)$の収束領域を交代級数の収束判定法を用いて確認する。$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{z}^{-n}=-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}{z}^{-n}$$交代級数の収束条件から$$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{z^{-n}}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}{\left(\frac{1}{z}\right)}^n=0\end{array}$$このとき$z$が$\frac{1}{|z|}\le 1$を満たせば条件を満たす。よって$F(z)$の収束領域は$|z|\ge 1$。
$F(z)$を収束領域側から近づけて極限をとった$li{m}_{z\to 1^{+}}F(z)$がメルカトル級数の値になる。
まず、$F(z)$の$z$変換にあたり$z$変換の積分則を使う。$z$変換の積分則は$$G(z)=\mathcal{Z}[\frac{h(n)}{n}]=-{\int }_{\mathrm{\infty }}^z{\tau }^{-1}H(\tau )d\tau +li{m}_{n\to 0}h(n)$$ただし、$H(z)=\mathcal{Z}[h(n)],li{m}_{n\to 0}h(n)=0$。
ここで$h(n)=\frac{1}{n}u(n-1)$とおくと$li{m}_{n\to 0}\frac{1}{n}u(n-1)=0$となり積分則の条件を満たすので
$$\begin{array}{rcl}G(z)& =& \mathcal{Z}[\frac{1}{n}u(n-1)]\\ & =& -{\int }_{\mathrm{\infty }}^z{\tau }^{-1}\mathcal{Z}[u(n-1)]d\tau & & \because 積分則\\ & =& -{\int }_{\mathrm{\infty }}^z{\tau }^{-1}{\tau }^{-1}\mathcal{Z}[u(n)]d\tau & & \because z変換のシフト則\\ & =& -{\int }_{\mathrm{\infty }}^z{\tau }^{-2}\frac{\tau }{\tau -1}d\tau & & \because 単位階段関数のz変換\\ & =& -{\int }_{\mathrm{\infty }}^z\frac{1}{\tau (\tau -1)}d\tau \\ & =& -{\int }_{\mathrm{\infty }}^z\frac{1}{\tau -1}-\frac{1}{\tau }d\tau & & \because 部分分数分解\\ & =& -{[log(\tau -1)-log(\tau )]}_{\mathrm{\infty }}^z\\ & =& -{[log(1-{\tau }^{-1})]}_{\mathrm{\infty }}^z\\ & =& -[log(1-z^{-1})-log(1)]\\ & =& -log(1-z^{-1})\end{array}$$よって
$$\begin{array}{rcl}F(z)& =& \mathcal{Z}[f(n)]\\ & =& \mathcal{Z}[(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}u(n-1)]\\ & =& -\mathcal{Z}[(-1{)}^n\frac{1}{n}u(n-1)]\\ & =& -G(\frac{z}{-1})& & \because z変換のスケーリング則\\ & =& -G(-z)\\ & =& -(-log(1-(-z{)}^{-1}))\\ & =& log(1+z^{-1})\end{array}$$ゆえに$$li{m}_{z\to 1^{+}}F(z)=li{m}_{z\to 1^{+}}log(1+z^{-1})=log(2)$$となりメルカトル級数の値が求められた。