神鳥奈紗さんの積分問題09を解いてみた

今回は，神鳥奈紗さんの積分問題09を解いたので，その解答を書こうと思います．

問題
\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln \cos x}{\tan x} dx ~=~? \end{align*}

解答

\begin{align*} &\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln \cos x}{\tan x} dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \ln \cos x}{\sin x } dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x}\left. \frac{\partial}{\partial y} \cos^y x \right|_{y=1} dx\\ &= \frac12 \lim_{x\to 0}\left. \frac{d}{dy} B\left(x, \frac{y+1}{2}\right) \right|_{y=1} \\ &= \frac12 \lim_{x\to 0} \frac12 \left. B\left(x, \frac{y+1}{2}\right)\left(\psi\left(\frac{y+1}{2}\right) - \psi\left(x+\frac{y+1}{2}\right)\right) \right|_{y=1} \\ &= \frac14 \lim_{x\to 0} B(x, 1)(\psi(1) - \psi(x + 1))\\ &= \frac14 \lim_{x\to 0} \frac{x\Gamma(x)}{\Gamma(x+1)} \frac{\psi(1) - \psi(x+1)}{x} \\ &= -\frac14 \lim_{x\to 0} \frac{\gamma + \psi(x+1)}{x} \\ &= -\frac14 \lim_{x\to 0} \psi^{(1)}(x+1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\textrm{L'Hôpital's rule})\\ &= -\frac14 \psi^{(1)} (1) \\ &= -\frac14 \cdot \frac{\pi^2}{6} \\ &= -\frac{\pi^2}{24} \end{align*}

投稿日：2020年11月16日

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Re_menal

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16歳　代数や積分，級数についての記事を書きます！（2021 年時点） → 17 歳　（無限）圏論についての記事を書きます！（2022 年 12 月時点）

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