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大学数学基礎解説

神鳥奈紗さんの積分問題09を解いてみた

ベータ関数,積分,極限

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今回は，神鳥奈紗さんの積分問題09を解いたので，その解答を書こうと思います．

問題

\begin{array}{r} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\ln \cos x}{\tan x} d x = ? \end{array}

解答

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\ln \cos x}{\tan x} d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x \ln \cos x}{\sin x} d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sin x} {\frac{\partial}{\partial y} \cos^{y} x |}_{y = 1} d x \\ = \frac{1}{2} lim_{x \to 0} {\frac{d}{d y} B (x, \frac{y + 1}{2}) |}_{y = 1} \\ = \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{2} {B (x, \frac{y + 1}{2}) (ψ (\frac{y + 1}{2}) - ψ (x + \frac{y + 1}{2})) |}_{y = 1} \\ = \frac{1}{4} lim_{x \to 0} B (x, 1) (ψ (1) - ψ (x + 1)) \\ = \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x Γ (x)}{Γ (x + 1)} \frac{ψ (1) - ψ (x + 1)}{x} \\ = - \frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{γ + ψ (x + 1)}{x} \\ = - \frac{1}{4} lim_{x \to 0} ψ^{(1)} (x + 1) (L’Hôpital’s rule) \\ = - \frac{1}{4} ψ^{(1)} (1) \\ = - \frac{1}{4} \cdot \frac{π^{2}}{6} \\ = - \frac{π^{2}}{24} \end{aligned}

投稿日：2020年11月16日

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