確率の簡単な問題およびその解説

本記事では、以下の問題の解説を行う。あとがきを含めても短めの記事なので、気軽に読んでいただきたい。

問題

　不正確な体重計を用いて、Aさんの体重を3回測った。1回目の測定値を

a

kg、2回目の測定値を

b

kgとしたとき、3回目の測定値が

a

kg～

b

kgの区間に収まる確率を求めよ。ただし、体重計の誤差の分布は正規分布に従うものとする。

【正規分布について】
　正規分布は、ネイピア数(自然対数の底)

\begin{array}{r} e = lim_{n \to \infty} (1 + n)^{\frac{1}{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 2.71828182845904523536 \dots \end{array}

および平均値

μ

、分散

σ^{2}

(平均値と分散の定義は省略する)を用いて定義される関数

\begin{array}{r} f (x) = \frac{e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \end{array}

に対し、値が

x

をとる確率が

f (x)

であるような確率分布を指す。なお、

f (x)

は確率分布を定義する関数(確率密度関数)なので、

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1 \end{array}

が成り立っている。

　以下の解説を読む前に、まずは自身で考えてみてほしい。

解説

$m, n > 0$ とすると、「 $m$ 回目の測定値が $n$ kgとなる確率」は $n$ のみに依存し、 $m$ によらない。
　したがって、3回目の測定値を $c$ kgとし、 $k$ 回目の測定値 $(k = 1, 2, 3)$ が $v_{k}$ kgであることをを $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ のように表記すると、以下の6パターン
$(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)$ が起こる確率はすべて等しい。即ち $x \geq y \geq z > 0$ として、求める確率は $a, b, c$ に $x, y, z$ を重複なく当てはめたときに $c = y$ となる確率であり、これは明らかに $\frac{1}{3}$ である。

あとがき

長々と正規分布に関する説明を行ったが用いたのは解説1行目の性質のみ、という点で、多くの方が拍子抜けしたのではなかろうか。もしかしたら $f (x)$ に $x = a$ や $x = b$ を代入して積分に持ち込んだ猛者もいるかもしれない。しかしながら、原理さえ分かれば本問は中学数学で解けてしまうのだ。
　ところで、解説では省略したが、例えば $x = y$ のときは $c = x$ でも条件を満たす。とはいえ、 $x, y, z$ が任意の正の値をとるとき $x = y$ となる確率は $0$ であるから、このケースを考慮する必要はない。