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関数列{fn}は可測集合A上で定義され各々可測で、あるA上可積分なgがあって|fn(x)|≤g(x)がA上ほとんどいたるところ成り立つとする。さらにA上可測なfがありA上ほとんどいたるところfn(x)→f(x) (n→∞)が成り立つとする。このときすべてのfnとfはA上可積分で∫Afndμ→∫Afdμ. (n→∞)
fn(x)={(1−xn)n(0<x<n) 0(x≥n), f(x)=e−x (x>0)とおくとx>0でfn(x)→f(x)となり、0<t<1で1−t<e−tだから、g=fで条件成立。よって、limn→∞∫0n(1−xn)ndx=1.
反例とか上げてみる。fn(x)={n(0<x<1n)0(1n≤x<1), f(x)=0 (0<x<1)とすると0<x<1でfn→fだが積分値の極限は1と0で一致しない。だから可積分で抑える必要がありそう。
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