ルベーグの収束定理

とても便利。

ルベーグの収束定理

関数列$\{f_n\}$は可測集合$A$上で定義され各々可測で、ある$A$上可積分な$g$があって$|f_n(x)|\leq g(x)$が$A$上ほとんどいたるところ成り立つとする。さらに$A$上可測な$f$があり$A$上ほとんどいたるところ$f_n(x)\to f(x)~~(n\to\infty)$が成り立つとする。このときすべての$f_n$と$f$は$A$上可積分で
$$\int_A f_n d\mu \to \int_A f d\mu.~~(n \to \infty)$$

$$f_n(x)=\left\{\begin{align*}&\left(1-\frac{x}{n}\right)^n &(0< x< n)\\[5pt] &~0&(x\geq n)\end{align*}\right.,~~~f(x)=e^{-x}~~(x>0)$$
とおくと$x>0$で$f_n(x)\to f(x)$となり、$0< t<1$で$1-t< e^{-t}$だから、$g=f$で条件成立。よって、
$$\lim_{n\to\infty}\int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n dx = 1.$$

反例とか上げてみる。
$$f_n(x)=\left\{\begin{align*}&n&(0< x<\frac{1}{n})\\[5pt]&0&(\frac{1}{n}\leq x < 1)\end{align*}\right.,~~~f(x)=0~~(0< x<1)$$
とすると$0< x<1$で$f_n\to f$だが積分値の極限は1と0で一致しない。だから可積分で抑える必要がありそう。

投稿日：2020年11月16日

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投稿者

黒狐

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