2つの積(MZV)

2つの積

なるほど，MZVには

調和積
シャッフル積

という2つの積があるようで，自分の理解のためにここに記しておこう．ただし，複雑だとわけわからん状態になるので，積には深さ1のみ使う．

調和積

これは，和の表示に対して，2つの束縛変数$m$と$n$に対して，$m< n$と$m=n$と$m>n$の3つの順序で足し合わせたもののようだ．

具体的に，
$$\begin{align*}\\ \sum_{m>0}\sum_{n>0} &= \sum_{0< m< n}\\ &+ \sum_{0< m=n}\\ &+ \sum_{0< n< m}\\ \end{align*}$$
であるから，$\zeta(p)\zeta(q)=\zeta(p,q)+\zeta(q,p)+\zeta(p+q)$のようだ．

シャッフル積

こいつは，積分表示の束縛変数に順序をつけて総和をとる．

例えば，$\zeta(2)\zeta(3)$について考えると，
$$ \zeta(2)=\int_{0< t_1< t_2<1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{t_2}\\ $$
$$ \zeta(3)=\int_{0< t_3< t_4< t_5<1}\frac{dt_3}{1-t_3}\frac{dt_4}{t_4}\frac{dt_5}{t_5}\\ $$
であるから，以下の10の順列が考えられる．$t_1=t_3$などの場合は無視できる．

$0< t_1< t_2< t_3< t_4< t_5<1$
$0< t_1< t_3< t_2< t_4< t_5<1$
$0< t_1< t_3< t_4< t_2< t_5<1$
$0< t_1< t_3< t_4< t_5< t_2<1$
$0< t_3< t_1< t_2< t_4< t_5<1$
$0< t_3< t_1< t_4< t_2< t_5<1$
$0< t_3< t_1< t_4< t_5< t_2<1$
$0< t_3< t_4< t_1< t_2< t_5<1$
$0< t_3< t_4< t_1< t_5< t_2<1$
$0< t_3< t_4< t_5< t_1< t_2<1$

これらについて見やすくする為に，
$t_1$と$t_3$を1，それ以外を0として並べてみると，
(参考までに，$\zeta(2)$は10，$\zeta(3)$は100である．)

10100
11000
11000
11000
11000
11000
11000
10100
10100
10010

さて，これらに対応するMZVを．．．

11000は$\zeta(1,4)$
10100は$\zeta(2,3)$
10010は$\zeta(3,2)$

これをもって，
$\zeta(2)\zeta(3)=6\zeta(1,4)+3\zeta(2,3)+\zeta(3,2)$
となった．(間違ってるかも，)
では，すこし一般化をして，$\zeta(p)\zeta(q)$のシャッフル積を求めよう．

$\zeta(p)\zeta(q)$のシャッフル積

$t_1$を1，$t_2$を0，などと置き，1と0の羅列でMZVを表記した．これをより丁寧に表記すると，
$\zeta(p)=I(1,\{0\}^{p-1})$
となる．また，
$\zeta(p,q)=I(1,\{0\}^{p-1},1,\{0\}^{q-1})$
である．

順序

混合列

$s_1,s_2,\cdots,s_p$と$t_1,t_2,\cdots,t_q$に対して，sとtそれぞれの順序を保ちながらsとtを混合した列を構成すると，それらの組み合わせは$_{p+q}C_p$通りとなる．

sとtのそれぞれの順序を考えない混合列は$(p+q)!$通り
s.tそれぞれの順序を考えれば$p!q!$の重複がある
よって$\frac{(p+q)!}{p!q!}={}_{p+q}C_p$通り

これが意味するのは，シャッフル積の係数の和が$_{p+q}C_p$であることだ．

深さ・重さ

上で$\zeta(2)\zeta(3)$を見てみた通り，シャッフル積の各項の深さは2，重さは5である．構成方法から容易にわかるように，$\zeta(p)\zeta(q)$のシャッフルの各項について深さは2，重さは$p+q$である．このことからわかるように，シャッフル積は$\zeta(1,p+q-1)$から$\zeta(p+q-2,2)$までの全てあるいは一部が使われる．

係数決定

$\zeta(p)\zeta(q)$のシャッフル積のうち
$\zeta(n,p+q-n)\quad(1 \leq n \leq p+q-2)$
の係数を求めてみる．
$$\zeta(n,p+q-n) = I(1,\{0\}^{n-1},1,\{0\}^{p+q-n-1})$$
であることから，
$$\zeta(p) = I(1,\{0\}^{p-1}) = I(s_1,\cdots,s_p)$$
$$\zeta(q) = I(1,\{0\}^{q-1}) = I(t_1,\cdots,t_q)$$
とすれば，次の2通りが考えられる．

$I(s_1,\cdots,t_1,\cdots)$であるとき
$s_1$と$t_1$の間は$n-1$個あるので，そこには$s_n$までが入る．これにより，$n \leq p$でなくてはならないことがわかる．($n>p$ならば，係数は0)
このとき，$t_1$以降では$s_n$以降のsとtで順序を保つ混合列ができる．よって$_{p+q-n-1}C_{q-1}$通りである．つまり$n \leq p$のときこれが係数．
$I(t_1,\cdots,s_1,\cdots)$のとき
同様にして考えれば，$_{p+q-n-1}C_{p-1}$となる．ただし，$n \leq q$

つまり，以下が成り立つ．

シャッフル積の係数

$\zeta(p)\zeta(q)$のシャッフル積で，
$\zeta(n,p+q-n)$の係数は，
$_{p+q-n-1}C_{q-1}+{}_{p+q-n-1}C_{p-1}$
ただし$n< r$のとき$_nC_r=0$

検算

確かに，$\zeta(2)\zeta(3)$ですると合ってそうだ．
では，係数の和
$$\sum_{n=1}^p{}_{p+q-n-1}C_{q-1}+\sum_{n=1}^q{}_{p+q-n-1}C_{p-1}$$
が$$_{p+q}C_p$$に等しくなることを示そう．
まず補題．

$$ \sum_{k=0}^{n-1}{}_{k+m}C_m={}_{m+n}C_{m+1} $$

$$ \begin{align*} &\sum_{k=0}^{n-1}{}_{k+m}C_m\\ =&1+\sum_{k=1}^{n-1}\left({}_{k+m+1}C_{m+1}-{}_{k+m}C_{m+1}\right)\\ =&1+{}_{m+n}C_{m+1}-1\\ =&{}_{m+n}C_{m+1} \end{align*} $$

これを利用して以下を示す．

$$\sum_{n=1}^p{}_{p+q-n-1}C_{q-1}+\sum_{n=1}^q{}_{p+q-n-1}C_{p-1}={}_{p+q}C_p$$

$$ \sum_{n=1}^p{}_{p+q-n-1}C_{q-1} $$
について考えると，これは
$$ \sum_{n=0}^{p-1}{}_{n+q-1}C_{q-1} $$
に等しいわけだから，補題より
$$ \sum_{n=1}^p{}_{p+q-n-1}C_{q-1}={}_{p+q-1}C_q $$
同様に，
$$ \sum_{n=1}^q{}_{p+q-n-1}C_{p-1}={}_{p+q-1}C_p $$
よって，
$$ \begin{align*} &\sum_{n=1}^p{}_{p+q-n-1}C_{q-1}+\sum_{n=1}^q{}_{p+q-n-1}C_{p-1}\\ =& {}_{p+q-1}C_q+ {}_{p+q-1}C_p\\ =&{}_{p+q-1}C_{p-1}+ {}_{p+q-1}C_p\\ =&{}_{p+q}C_p \end{align*} $$

係数の和の検算ができた．