2つの積(MZV)

2つの積

なるほど，MZVには

• 調和積
• シャッフル積

という2つの積があるようで，自分の理解のためにここに記しておこう．ただし，複雑だとわけわからん状態になるので，積には深さ1のみ使う．

調和積

これは，和の表示に対して，2つの束縛変数$m$と$n$に対して，$m<n$と$m=n$と$m>n$の3つの順序で足し合わせたもののようだ．

具体的に，
$$\begin{array}{r}\\ \sum _{m>0}\sum _{n>0}& =\sum _{0<m<n}\\ & +\sum _{0<m=n}\\ & +\sum _{0<n<m}\end{array}$$
であるから，$\zeta (p)\zeta (q)=\zeta (p,q)+\zeta (q,p)+\zeta (p+q)$のようだ．

シャッフル積

こいつは，積分表示の束縛変数に順序をつけて総和をとる．

例えば，$\zeta (2)\zeta (3)$について考えると，
$$\zeta (2)={\int }_{0<t_1<t_2<1}\frac{d{t}_1}{1-t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}$$
$$\zeta (3)={\int }_{0<t_3<t_4<t_5<1}\frac{d{t}_3}{1-t_3}\frac{d{t}_4}{t_4}\frac{d{t}_5}{t_5}$$
であるから，以下の10の順列が考えられる．$t_1=t_3$などの場合は無視できる．

• $0<t_1<t_2<t_3<t_4<t_5<1$
• $0<t_1<t_3<t_2<t_4<t_5<1$
• $0<t_1<t_3<t_4<t_2<t_5<1$
• $0<t_1<t_3<t_4<t_5<t_2<1$
• $0<t_3<t_1<t_2<t_4<t_5<1$
• $0<t_3<t_1<t_4<t_2<t_5<1$
• $0<t_3<t_1<t_4<t_5<t_2<1$
• $0<t_3<t_4<t_1<t_2<t_5<1$
• $0<t_3<t_4<t_1<t_5<t_2<1$
• $0<t_3<t_4<t_5<t_1<t_2<1$

これらについて見やすくする為に，
$t_1$と$t_3$を1，それ以外を0として並べてみると，
(参考までに，$\zeta (2)$は10，$\zeta (3)$は100である．)

• 10100
• 11000
• 11000
• 11000
• 11000
• 11000
• 11000
• 10100
• 10100
• 10010

さて，これらに対応するMZVを．．．

• 11000は$\zeta (1,4)$
• 10100は$\zeta (2,3)$
• 10010は$\zeta (3,2)$

これをもって，
$\zeta (2)\zeta (3)=6\zeta (1,4)+3\zeta (2,3)+\zeta (3,2)$
となった．(間違ってるかも，)
では，すこし一般化をして，$\zeta (p)\zeta (q)$のシャッフル積を求めよう．

$\zeta (p)\zeta (q)$のシャッフル積

$t_1$を1，$t_2$を0，などと置き，1と0の羅列でMZVを表記した．これをより丁寧に表記すると，
$\zeta (p)=I(1,\{0{\}}^{p-1})$
となる．また，
$\zeta (p,q)=I(1,\{0{\}}^{p-1},1,\{0{\}}^{q-1})$
である．

順序

これが意味するのは，シャッフル積の係数の和が${}_{p+q}{C}_p$であることだ．

深さ・重さ

上で$\zeta (2)\zeta (3)$を見てみた通り，シャッフル積の各項の深さは2，重さは5である．構成方法から容易にわかるように，$\zeta (p)\zeta (q)$のシャッフルの各項について深さは2，重さは$p+q$である．このことからわかるように，シャッフル積は$\zeta (1,p+q-1)$から$\zeta (p+q-2,2)$までの全てあるいは一部が使われる．

係数決定

$\zeta (p)\zeta (q)$のシャッフル積のうち
$\zeta (n,p+q-n)(1\le n\le p+q-2)$
の係数を求めてみる．
$$\zeta (n,p+q-n)=I(1,\{0{\}}^{n-1},1,\{0{\}}^{p+q-n-1})$$
であることから，
$$\zeta (p)=I(1,\{0{\}}^{p-1})=I(s_1,\cdots ,s_p)$$
$$\zeta (q)=I(1,\{0{\}}^{q-1})=I(t_1,\cdots ,t_q)$$
とすれば，次の2通りが考えられる．

1. $I(s_1,\cdots ,t_1,\cdots )$であるとき
   $s_1$と$t_1$の間は$n-1$個あるので，そこには$s_n$までが入る．これにより，$n\le p$でなくてはならないことがわかる．($n>p$ならば，係数は0)
   このとき，$t_1$以降では$s_n$以降のsとtで順序を保つ混合列ができる．よって${}_{p+q-n-1}{C}_{q-1}$通りである．つまり$n\le p$のときこれが係数．
2. $I(t_1,\cdots ,s_1,\cdots )$のとき
   同様にして考えれば，${}_{p+q-n-1}{C}_{p-1}$となる．ただし，$n\le q$

つまり，以下が成り立つ．

検算

確かに，$\zeta (2)\zeta (3)$ですると合ってそうだ．
では，係数の和
$$\sum _{n=1}^p{}_{p+q-n-1}{C}_{q-1}+\sum _{n=1}^q{}_{p+q-n-1}{C}_{p-1}$$
が$${}_{p+q}{C}_p$$に等しくなることを示そう．
まず補題．

これを利用して以下を示す．

係数の和の検算ができた．

感想

今回は深さ1どうしの積だったが，深さ2以上や，AMZVなどだとやばそう