体積とグラム行列

　$k=1$ のとき、$\bm a \in \mathbb R^n$ に対し
$$ \mathrm{Vol}_1(\bm a) = ||\bm a||$$
である。一方、$G(\bm a) = \bm a \cdot \bm a = ||\bm a||^2$ より $G(\bm a)$ は非負であり、
$$ \sqrt{\det(G(\bm a))} = ||\bm a||$$
であるから主張が成り立つ。

　$k \geq 2$ とし、$k-1$ 個のベクトルについては定理1が成り立つとする。$\bm a_1, \ldots, \bm a_k \in \mathbb R^n$ とする。$\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}$ の張る$\mathbb R^n$の部分空間を$W$とし、
$$ \bm a_k = \bm b + \bm c \qquad (\bm b \in W, \ \bm c \perp W)$$
とおく。すると
$$ \mathrm{Vol}_k (\bm a_1, \ldots, \bm a_k) = ||\bm c|| \mathrm{Vol}_{k-1} (\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1})$$
である。
　ここで $\bm b \in W$ であるから、$\bm b$ は $\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}$ の線形結合で表せる。
$$ \bm b = \lambda_1 \bm a_1 + \cdots + \lambda_{k-1} \bm a_{k-1}$$
とおくと
$$ \bm c = \bm a_k - \lambda_1 \bm a_1 - \cdots - \lambda_{k-1} \bm a_{k-1}$$
である。この式の形から、行列 $\matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_k}$ に「ある列の定数倍を他の列に加える」という列基本変形を施すことで $\matad{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_{k-1}}{\bm c}$ に変形することができる。この基本変形を表す正則行列を$P$とすれば
$$ \matad{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_{k-1}}{\bm c} = \matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_k}P$$
であり、さらに $\det P = 1$ となる。$A = \matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_k}$, $A' = \matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_{k-1}}$ とおけば、$\matab{A'}{\bm c} = AP$ と書ける。すると
$$ \begin{aligned}   G(A) &= {}^t\!AA\\   &= {}^t\!(\matab{A'}{\bm c}P^{-1})(\matab{A'}{\bm c}P^{-1})\\   &= {}^t\!P^{-1} \matba{{}^t\!A'}{{}^t\!\bm c} \matab{A'}{\bm c}P^{-1}\\   &= {}^t\!P^{-1} \matbb{G(A')}{\mathbf 0}{\mathbf 0}{||\bm c||^2} P^{-1} \end{aligned}$$
となる。ここで、最後の等号では $\bm c$ が $\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}$ に直交することを用いた。したがって
$$ \det(G(A)) = \det \matbb{G(A')}{\mathbf 0}{\mathbf 0}{||\bm c||^2} = ||\bm c||^2 \det(G(A')) = ||\bm c||^2 \mathrm{Vol}_{k-1} (\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1})^2$$
となる。ここで、最後の等号では帰納法の仮定を用いた。最右辺は非負であるから、$\det(G(A)) \geq 0$である。平方根をとることで
$$ \sqrt{\det(G(A))} = ||\bm c|| \mathrm{Vol}_{k-1} (\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1})$$
となり、主張が成り立つ。

　$\bm a_1,\ldots, \bm a_k$ の並び替え $\bm a_{i_1}, \ldots, \bm a_{i_k}$ を考える。行列 $\matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_k}$ に「列を入れ替える」という列基本変形を施せば $\matac{\bm a_{i_1}}{\cdots}{\bm a_{i_k}}$ が得られる。この基本変形を表す正則行列を$P$とすれば、
$$ \matac{\bm a_{i_1}}{\cdots}{\bm a_{i_k}} = \matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_k} P$$
であり、さらに $\det P= \pm 1$ である。$A =\matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_k}$, $A' = \matac{\bm a_{i_1}}{\cdots}{\bm a_{i_k}}$ とおけば、
$$ \begin{aligned} \mathrm{Vol}_k(\bm a_{i_1}, \ldots, \bm a_{i_k}) &= \sqrt{\det({}^t\!A'A')}\\ &=\sqrt{\det({}^t\!P \ {}^t\!AAP)}\\ &= \sqrt{(\det P)^2 \ \det({}^t\!AA)}\\ &= \mathrm{Vol}_k(\bm a_1, \ldots, \bm a_k) \end{aligned}$$
を得る。

　$\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ が1次独立 $\Longleftrightarrow \ \det(G(\bm a_1, \ldots, \bm a_k)) \neq 0$ を示す。$A = \matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_k}$とおく。

「$\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ が1次独立 $\Longrightarrow$ $\det(G(A)) \neq 0$」について:

　対偶を示す。$\det(G(A)) = 0$ であるとする。このとき、ある$\mathbf 0$でないベクトル $\bm x \in \mathbb R^k$ が存在して

$$ G(A) \bm x = \mathbf 0,$$

すなわち

$$ {}^t\!AA\bm x = \mathbf 0$$

が成り立つ。両辺に左から${}^t\!\bm x$をかけると

$$ {}^t\!\bm x{}^t\!AA\bm x = 0$$

となる。すると

$$ \begin{aligned}  0 = {}^t\!\bm x{}^t\!AA\bm x  = {}^t\!(A\bm x)(A \bm x)  = ||A\bm x||^2 \end{aligned}$$

より、$A \bm x = \mathbf 0$ となる。$\bm x = \matca{x_1}{\vdots}{x_k}$ とおけばこれは

$$ x_1 \bm a_1 + \cdots x_k \bm a_k = \mathbf 0$$

を意味するので、$\bm x \neq \mathbf 0$ であったことから $\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ は1次従属である。

「$\det(G(A)) \neq 0$ $\Longrightarrow$ $\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ が1次独立」について:

　$\det(G(A)) \neq 0$ であるとする。実数 $c_1, \ldots, c_k$ が

$$ c_1 \bm a_1 + \cdots + c_k \bm a_k = \mathbf 0$$

を満たしていると仮定する。このとき

$$ A \matca{c_1}{\vdots}{c_k} = \mathbf 0$$

である。両辺に左から ${}^t\!A$ をかければ

$$ G(A) \matca{c_1}{\vdots}{c_k} = \mathbf 0$$

となるが、$\det(G(A)) \neq 0$ であったので、両辺に左から $G(A)^{-1}$ をかけて

$$ \matca{c_1}{\vdots}{c_k} = \mathbf 0$$

を得る。したがって、$\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ は1次独立である。

　$\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ が1次独立 $\Longleftrightarrow \ \mathrm{Vol}_k(\bm a_1, \ldots, \bm a_k) \neq 0$ を示す。

　$k=1$ のとき、$\bm a \in \mathbb R^n$ の張る1次元平行体の1次元体積は$||\bm a||$であるから、
$$ \text{$\bm a$ が1次独立} \ \Longleftrightarrow \ \bm a \neq \mathbf 0 \ \Longleftrightarrow \ ||\bm a|| \neq 0 \ \Longleftrightarrow \ \mathrm{Vol}_1(\bm a) \neq 0$$
となり、成り立つ。

　$k \geq 2$ とし、$k-1$個のベクトルに対しては成り立つとする。$\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}$ の張る$\mathbb R^n$の部分空間を$W$とし、
$$ \bm a_k = \bm b + \bm c \qquad (\bm b \in W, \ \bm c \perp W)$$
と分解しておく。

「$\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ が1次独立 $\Longrightarrow \ \mathrm{Vol}_k(\bm a_1, \ldots, \bm a_k) \neq 0$」について:

　$\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ が1次独立であるとする。このとき $\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}$ も1次独立であるので、帰納法の仮定から$$ \mathrm{Vol}_{k-1}(\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}) \neq 0$$
である。また、$\bm c = \mathbf 0$ と仮定すると $\bm a_k = \bm b \in W$ となり、$\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ が1次独立であったことに矛盾。よって $\bm c \neq \mathbf 0$ である。したがって
$$ \mathrm{Vol}_{k}(\bm a_1, \ldots, \bm a_{k}) = ||\bm c|| \mathrm{Vol}_{k-1}(\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}) \neq 0$$
を得る。

「$\mathrm{Vol}_k(\bm a_1, \ldots, \bm a_k) \neq 0 \ \Longrightarrow$ $\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ が1次独立」について:

　$\mathrm{Vol}_k(\bm a_1, \ldots, \bm a_k) \neq 0$ であるとすると、$k$次元体積の定義から
$$ ||\bm c|| \mathrm{Vol}_{k-1}(\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}) \neq 0,$$
すなわち $||\bm c|| \neq 0$ かつ $\mathrm{Vol}_{k-1}(\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}) \neq 0$ となる。$||\bm c|| \neq 0$ から $\bm c \neq \mathbf 0$ であり、これは $\bm a_k \not\in W$ を意味する。また、帰納法の仮定から、$\mathrm{Vol}_{k-1}(\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}) \neq 0$ は $\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}$ が1次独立であることを意味する。ここで、実数 $c_1, \ldots, c_k$ が
$$ c_1 \bm a_1 + \cdots + c_k \bm a_k = \mathbf 0$$
を満たしているとする。もし $c_k \neq 0$ なら、$\bm a_k$を $\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}$ の線形結合で表せてしまい、$\bm a_k \not\in W$ に矛盾。したがって $c_k=0$ となる。さらに、$\bm a_1, \ldots, \bm a_{k-1}$ が1次独立であることから $c_1=\cdots = c_{k-1} = 0$ となるので、$\bm a_1, \ldots, \bm a_k$ は1次独立である。

　$A = \matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_n}$ とおけば、$A$は正方行列であり、$\det({}^t\!A) = \det A$ が成り立つ。よって
$$ \mathrm{Vol}_n(\bm a_1, \ldots, \bm a_n) = \sqrt{\det({}^t\!AA)} = \sqrt{(\det A)^2} = |\det \matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_n}|$$

$$ \mathrm{Vol}_2(\bm a, \bm b) = \sqrt{\det(G(\bm a, \bm b))} = \sqrt{\det \matbb{\bm a \cdot \bm a}{\bm a \cdot \bm b}{\bm b \cdot \bm a}{\bm b \cdot \bm b}} = \sqrt{||\bm a||^2 ||\bm b||^2 - (\bm a \cdot \bm b)^2}$$