【備忘録】複素関数論のとある命題

$D$は$\mathbb{C}$の開集合なので，ある$R > 0$が存在して
$$ U = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| < R \} \subset D$$
となる。

$U$上の関数$G \colon U \to \mathbb{C}$を
$$ G(z) = \int_{\overline{z_0 z}} g(\zeta) d \zeta$$
により定める。
（$\overline{z_0 z}$は$z_0$から$z$に至る線分を表す。この文脈では複素共役ではない。）

$U$上$G'(z) = g(z)$が成り立つことを示せば，$g(z)$が$z = z_0$で正則であることが言える。

$z \in U$とする。

絶対値が十分小さい複素数$h \neq 0$に対して，微分商
$$ \frac{G(z+h) - G(z)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{\overline{z_0 (z+h)}} g(\zeta) d \zeta - \int_{\overline{z_0 z}} g(\zeta) d \zeta \right) $$
を考える。

これを計算するために
$$ \int_{\triangle z_0 z (z+h)} g(\zeta) d \zeta = 0$$
が成り立つことを示す。
（$\triangle z_0 z (z+h)$は線分$\overline{z_0 z}$, $\overline{z(z+h)}$, $\overline{(z+h)z_0}$をこの順に結んでできる三角形を表す。$3$点が一直線上に並んでしまってもよい。）

線分$\overline{z_0 z}$上に$w \neq z_0$を取り，線分$\overline{z_0 (z+h)}$上に$w' \neq z_0$を取る。

このとき，コーシーの積分定理より
\begin{align} \int_{\triangle z_0 z (z+h)} g(\zeta) d \zeta & = \int_{\triangle z_0 w w'} g(\zeta) d \zeta + \int_{\triangle w' w z} g(\zeta) d \zeta + \int_{\triangle w' z (z+h)} g(\zeta) d \zeta \\ & = \int_{\triangle z_0 w w'} g(\zeta) d \zeta \end{align}
となる。

$w$, $w'$を$z_0$の十分近くに取ることで，この積分がいくらでも小さくなることを示す。

$\epsilon > 0$が任意に与えられたとする。

$g (z)$の$z = z_0$での連続性から，ある$\delta > 0$が存在し，$|\zeta - z_0| < \delta$を満たすような任意の$\zeta$に対して
$$ |g(\zeta) - g(z_0)| < \frac{1}{4}$$
が成り立つ。

$r = \min \{ \delta, \epsilon \}$と置き，$w$, $w'$を開円盤$\{ z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| < r \}$に含まれるように取ると，
$$ |w - z_0| < r \leq \epsilon$$
$$ |w' - w| < 2 r \leq 2 \epsilon$$
$$ |z_0 - w'| < r \leq \epsilon$$
となる。

よって，積分の値は
\begin{align} \left| \int_{\triangle z_0 w w'} g(\zeta) d \zeta \right| & = \left| \int_{\triangle z_0 w w'} (g(\zeta) - g(z_0)) d \zeta \right| \\ & \leq \frac{1}{4} (\epsilon + 2 \epsilon + \epsilon) \\ & = \epsilon \end{align}
を満たす。

これで$\int_{\triangle z_0 z (z+h)} g(\zeta) d \zeta = 0$であることが分かった。

したがって，
$$ \frac{G(z+h) - G(z)}{h} = \frac{1}{h} \int_{\overline{z(z+h)}} g(\zeta) d \zeta $$
である。

$h \to 0$のとき，微分商の極限が$g (z)$であることを示す。

$\epsilon > 0$が任意に与えられたとする。

$g$の連続性から，ある$\delta > 0$が存在し，$|\zeta - z| < \delta$を満たすような任意の$\zeta$に対して
$$ |g(\zeta) - g(z)| < \epsilon$$
が成り立つ。

このとき，$\zeta \in \overline{z(z+h)}$なら$|\zeta - z| \leq |h|$なので，$0 < |h| < \delta$を満たすような任意の$h$に対して
\begin{align} \left| \frac{G(z+h) - G(z)}{h} - g(z) \right| & = \left| \left( \frac{1}{h} \int_{\overline{z(z+h)}} g(\zeta) d \zeta \right) - g(z) \right| \\ & = \left| \frac{1}{h} \int_{\overline{z(z+h)}} (g(\zeta) - g(z)) d \zeta \right| \\ & \leq \frac{1}{|h|} |h| \epsilon \\ & = \epsilon \end{align}
が成り立つ。

これは$G'(z) = g (z)$ということに他ならない。

$G (z)$が$U$上の正則関数であるとき，$G'(z)$もまた$U$上の正則関数である。

この場合，$g(z)$は$z = z_0$で正則である。

これが示すべきことであった。