【備忘録】複素関数論のとある命題

$D$は$\mathbb{C}$の開集合なので，ある$R>0$が存在して
$$U=\{z\in \mathbb{C}\mid |z-z_0|<R\}\subset D$$
となる。

$U$上の関数$G:U\to \mathbb{C}$を
$$G(z)={\int }_{\overline{z_{0}z}}g(\zeta )d\zeta$$
により定める。
（$\overline{z_{0}z}$は$z_0$から$z$に至る線分を表す。この文脈では複素共役ではない。）

$U$上$G^{\prime }(z)=g(z)$が成り立つことを示せば，$g(z)$が$z=z_0$で正則であることが言える。

$z\in U$とする。

絶対値が十分小さい複素数$h\ne 0$に対して，微分商
$$\frac{G(z+h)-G(z)}{h}=\frac{1}{h}({\int }_{\overline{z_0(z+h)}}g(\zeta )d\zeta -{\int }_{\overline{z_{0}z}}g(\zeta )d\zeta )$$
を考える。

これを計算するために
$${\int }_{\mathrm{△}{z}_{0}z(z+h)}g(\zeta )d\zeta =0$$
が成り立つことを示す。
（$\mathrm{△}{z}_{0}z(z+h)$は線分$\overline{z_{0}z}$, $\overline{z(z+h)}$, $\overline{(z+h)z_0}$をこの順に結んでできる三角形を表す。$3$点が一直線上に並んでしまってもよい。）

線分$\overline{z_{0}z}$上に$w\ne z_0$を取り，線分$\overline{z_0(z+h)}$上に$w^{\prime }\ne z_0$を取る。

このとき，コーシーの積分定理より
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathrm{△}{z}_{0}z(z+h)}g(\zeta )d\zeta & ={\int }_{\mathrm{△}{z}_{0}w{w}^{\prime }}g(\zeta )d\zeta +{\int }_{\mathrm{△}{w}^{\prime }wz}g(\zeta )d\zeta +{\int }_{\mathrm{△}{w}^{\prime }z(z+h)}g(\zeta )d\zeta \\ & ={\int }_{\mathrm{△}{z}_{0}w{w}^{\prime }}g(\zeta )d\zeta \end{array}$$
となる。

$w$, $w^{\prime }$を$z_0$の十分近くに取ることで，この積分がいくらでも小さくなることを示す。

$ϵ>0$が任意に与えられたとする。

$g(z)$の$z=z_0$での連続性から，ある$\delta >0$が存在し，$|\zeta -z_0|<\delta$を満たすような任意の$\zeta$に対して
$$|g(\zeta )-g(z_0)|<\frac{1}{4}$$
が成り立つ。

$r=min\{\delta ,ϵ\}$と置き，$w$, $w^{\prime }$を開円盤$\{z\in \mathbb{C}\mid |z-z_0|<r\}$に含まれるように取ると，
$$|w-z_0|<r\le ϵ$$
$$|w^{\prime }-w|<2r\le 2ϵ$$
$$|z_0-w^{\prime }|<r\le ϵ$$
となる。

よって，積分の値は
$$\begin{array}{rl}|{\int }_{\mathrm{△}{z}_{0}w{w}^{\prime }}g(\zeta )d\zeta |& =|{\int }_{\mathrm{△}{z}_{0}w{w}^{\prime }}(g(\zeta )-g(z_0))d\zeta |\\ & \le \frac{1}{4}(ϵ+2ϵ+ϵ)\\ & =ϵ\end{array}$$
を満たす。

これで${\int }_{\mathrm{△}{z}_{0}z(z+h)}g(\zeta )d\zeta =0$であることが分かった。

したがって，
$$\frac{G(z+h)-G(z)}{h}=\frac{1}{h}{\int }_{\overline{z(z+h)}}g(\zeta )d\zeta$$
である。

$h\to 0$のとき，微分商の極限が$g(z)$であることを示す。

$ϵ>0$が任意に与えられたとする。

$g$の連続性から，ある$\delta >0$が存在し，$|\zeta -z|<\delta$を満たすような任意の$\zeta$に対して
$$|g(\zeta )-g(z)|<ϵ$$
が成り立つ。

このとき，$\zeta \in \overline{z(z+h)}$なら$|\zeta -z|\le |h|$なので，$0<|h|<\delta$を満たすような任意の$h$に対して
$$\begin{array}{rl}|\frac{G(z+h)-G(z)}{h}-g(z)|& =|(\frac{1}{h}{\int }_{\overline{z(z+h)}}g(\zeta )d\zeta )-g(z)|\\ & =|\frac{1}{h}{\int }_{\overline{z(z+h)}}(g(\zeta )-g(z))d\zeta |\\ & \le \frac{1}{|h|}|h|ϵ\\ & =ϵ\end{array}$$
が成り立つ。

これは$G^{\prime }(z)=g(z)$ということに他ならない。

$G(z)$が$U$上の正則関数であるとき，$G^{\prime }(z)$もまた$U$上の正則関数である。

この場合，$g(z)$は$z=z_0$で正則である。

これが示すべきことであった。