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大学数学基礎解説
文献あり

【備忘録】複素関数論のとある命題

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DC内の領域とし,z0Dとしたとき,Dで連続かつD{z0}で正則な関数g:DCDで正則である。

DCの開集合なので,あるR>0が存在して
U={zC|zz0|<R}D
となる。

U上の関数G:UC
G(z)=z0zg(ζ)dζ
により定める。
z0zz0からzに至る線分を表す。この文脈では複素共役ではない。)

UG(z)=g(z)が成り立つことを示せば,g(z)z=z0で正則であることが言える。

zUとする。

絶対値が十分小さい複素数h0に対して,微分商
G(z+h)G(z)h=1h(z0(z+h)g(ζ)dζz0zg(ζ)dζ)
を考える。

これを計算するために
z0z(z+h)g(ζ)dζ=0
が成り立つことを示す。
z0z(z+h)は線分z0z, z(z+h), (z+h)z0をこの順に結んでできる三角形を表す。3点が一直線上に並んでしまってもよい。)

線分z0z上にwz0を取り,線分z0(z+h)上にwz0を取る。

このとき,コーシーの積分定理より
z0z(z+h)g(ζ)dζ=z0wwg(ζ)dζ+wwzg(ζ)dζ+wz(z+h)g(ζ)dζ=z0wwg(ζ)dζ
となる。

w, wz0の十分近くに取ることで,この積分がいくらでも小さくなることを示す。

ϵ>0が任意に与えられたとする。

g(z)z=z0での連続性から,あるδ>0が存在し,|ζz0|<δを満たすような任意のζに対して
|g(ζ)g(z0)|<14
が成り立つ。

r=min{δ,ϵ}と置き,w, wを開円盤{zC|zz0|<r}に含まれるように取ると,
|wz0|<rϵ
|ww|<2r2ϵ
|z0w|<rϵ
となる。

よって,積分の値は
|z0wwg(ζ)dζ|=|z0ww(g(ζ)g(z0))dζ|14(ϵ+2ϵ+ϵ)=ϵ
を満たす。

これでz0z(z+h)g(ζ)dζ=0であることが分かった。

したがって,
G(z+h)G(z)h=1hz(z+h)g(ζ)dζ
である。

h0のとき,微分商の極限がg(z)であることを示す。

ϵ>0が任意に与えられたとする。

gの連続性から,あるδ>0が存在し,|ζz|<δを満たすような任意のζに対して
|g(ζ)g(z)|<ϵ
が成り立つ。

このとき,ζz(z+h)なら|ζz||h|なので,0<|h|<δを満たすような任意のhに対して
|G(z+h)G(z)hg(z)|=|(1hz(z+h)g(ζ)dζ)g(z)|=|1hz(z+h)(g(ζ)g(z))dζ|1|h||h|ϵ=ϵ
が成り立つ。

これはG(z)=g(z)ということに他ならない。

G(z)U上の正則関数であるとき,G(z)もまたU上の正則関数である。

この場合,g(z)z=z0で正則である。

これが示すべきことであった。

リーマン面上の関数やリーマン面の間の写像についても上と同様のことが成り立つ。

参考文献

[1]
高橋礼司, 複素解析, 基礎数学, 東京大学出版会, 1990
投稿日:202429
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