大学数学基礎解説

偶置換と奇置換は半分ずつ存在する

群論,置換,準同型

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どうも

　こんにちは　ごててんです.
　今回は「偶置換と奇置換は半分ずつ存在する」ことを示そうと思います.

どういう人向けの記事？

　群論をちょっと学んだ人向けです. 準同型定理の主張は知っていてほしいです.

まず問題を定式化

　 $n \geq 2$ を自然数とする. $n$ 次対称群 $S_{n}$ の元のうち, 奇置換, 偶置換であるものがそれぞれ $n! / 2$ 個ずつあることを示せ.

一瞬で解く

　一瞬で解きます　うおおおおおお

　符号関数 $sgn : S_{n} \to {\pm 1}$ に準同型定理を適用すると $S_{n} / A_{n} ≅ {\pm 1}$ .（ $A_{n}$ は $n$ 次交代群＝偶置換全体）
　ラグランジュの定理から $| S_{n} | / | A_{n} | = | S_{n} / A_{n} | = | {\pm 1} | = 2$ で, つまり $| A_{n} | = | S_{n} | / 2$ なので偶置換の個数は $| S_{n} | / 2$ で, 余った奇置換の個数も $| S_{n} | / 2$ .