5

偶置換と奇置換は半分ずつ存在する

582
0
$$$$

どうも

 こんにちは ごててんです.
 今回は「偶置換と奇置換は半分ずつ存在する」ことを示そうと思います.

どういう人向けの記事?

 群論をちょっと学んだ人向けです. 準同型定理の主張は知っていてほしいです.

まず問題を定式化

 $n \geq 2$を自然数とする. $n$次対称群$S_n$の元のうち, 奇置換, 偶置換であるものがそれぞれ${n!}/2$個ずつあることを示せ.

一瞬で解く

 一瞬で解きます うおおおおおお

 符号関数 $\mathrm{sgn}:S_n \rightarrow \{ \pm 1 \}$ に準同型定理を適用すると $S_n / A_n \cong \{ \pm 1 \}$.($A_n$$n$次交代群=偶置換全体)
 ラグランジュの定理から$|S_n|/|A_n| = |S_n / A_n| = |\{ \pm 1 \}| = 2$で, つまり$|A_n|=|S_n| / 2$なので偶置換の個数は$|S_n| / 2$で, 余った奇置換の個数も$|S_n| / 2$.

終わり

 一瞬でしたね!!!!! それでは

投稿日:2023726

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

ごててん
ごててん
262
44723
位相空間と環が好きです

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中