Borel Equivalence Relations

Borel Equivalence relations/ reducibility

概要

Borel Equivalence relationsに関する論文であるGEDBER のメモです。
Borel equivalence relationとは名前の通り、同値関係であって、なおかつBorel集合であるものです。（以下Borel equivalence relationのことをBerと略記する）
BerにはBorel reducibilityと呼ばれる還元関係があります。Ber$E_1$と$E_2$に対し、$E_1 \leq_B E_2 $とはあるBorel写像$f$が存在して、$xE_1y \Leftrightarrow f(x)E_2f(y) $を満たすことを言います。
Ber上の$ \leq_B $の構造が研究されており、特に"initial segment"は以下のようになっていることが知られています。NDBER
$1<_B2<_B \cdots <_B \mathbb N <_B 2^{\mathbb N}(\sim _B \mathbb R ) < E_0 $
$ \mathbb N <_B 2^{\mathbb N}$はSilverによって示されました。(Silverの定理)また$ 2^{\mathbb N}< E_0$はHarrington-Kechris-Louveauによって示されました。GEDBER
Berにおける$<_B$の階層構造を調べるモチベーションとしては以下などが挙げられます。

• エルゴード理論
• https://ja.wikipedia.org/wiki/バナッハ＝タルスキーのパラドックス

本記事の目標

1. Silverの定理の証明を書く（昔やったから多分できる。DSTFの証明をトレースするため、強制法を用いる）
2. HKLの示したGilman-Effros dichotomyを示す(勉強中)
3. バナッハ＝タルスキのパラドクスとの関係性の説明をなるべくわかりやすく書く
4. エルゴード理論との繋がりを軽く説明する
   ※気軽に書いてるので随時更新予定

目次

本文

参考文献リンク

https://projecteuclid.org/ebooks/lecture-notes-in-logic/Descriptive-Set-Theory-and-Forcing--How-to-Prove-Theorems/toc/lnl/1235423343
https://www.jstor.org/stable/pdf/421148.pdf?casa_token=H6B0poq3lgkAAAAA:rOYneUqS3DRiV7gATaQgHF0nkmw1r3IzZpnrbp7-zXwO_MszkF9-KZwJCvB9UriYlNFb3DTpKBI2z5ZqkirP-2-sb8xqF8IvBuKuViCIOxLFMvFxoW_5
https://www.jstor.org/stable/pdf/1990906.pdf?casa_token=1-FKV5WFzAQAAAAA:JdgzMSGwmyFapWecMsUW78zPlO7hDHXyT7E5RzcsNex83TwqykPXHBR-VIHGm3lHmQZF-9Xh2cRbm3_CREK2RS7EADfmaRU0ACREZQ9cfmJ_mJJTN6GE