東大数理院試1993年度専門問3解答
東大数理の院試（1993年度専門問3）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．代数の問題も数問解いてありますが，それだけをpdfにまとめて公開する気がしないので，ここで個別に書いておくことにします．
$8$ 個の元からなる有限体 $\FF_8$ 上の方程式
$$y^2 + y = x^7 + x^3$$
の解 $(x, y)$ の個数を求めよ．
$x = 0$ の時は $y^2 + y = 0$ だから $y = 0, 1.$
以下 $x \not= 0$ とする．$\FF_2$ 上の既約多項式 $t^3 + t + 1 \in \FF_2[t]$ の根の一つを $\alpha$ とすれば $\FF_8 \cong \FF_2[\alpha] / (\alpha^3 + \alpha + 1)$ である．
$x = x_0 + x_1 \alpha + x_2 \alpha^2, y = y_0 + y_1 \alpha + y_2 \alpha^2 \, (x_i, y_i \in \FF_2)$ とおくと，$\alpha^4 = \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha(-\alpha - 1) = \alpha^2 + \alpha$ であることから
\begin{align*}
x^2
&= x_0^2 + x_1^2 \alpha^2 + x_2^2 \alpha^4 \\
&= x_0 + x_1 \alpha^2 + x_2(\alpha^2 + \alpha) \\
&= x_0 + x_2 \alpha + (x_1 + x_2)\alpha^2.
\end{align*}
よって
\begin{align*}
y^2 + y
=\, & (y_0 + y_2 \alpha + (y_1 + y_2)\alpha^2) + (y_0 + y_1 \alpha + y_2 \alpha^2) \\
=\, & (y_1 + y_2)\alpha + y_1 \alpha^2, \\
x^7 + x^3
=\, & 1 + (x_0 + x_2 \alpha + (x_1 + x_2)\alpha^2)(x_0 + x_1 \alpha + x_2 \alpha^2) \\
=\, & 1 + x_0^2 + (x_0 x_1 + x_0 x_2)\alpha + (x_0 x_2 + x_1 x_2 + (x_1 + x_2)x_0)\alpha^2 \\
&+(x_2^2 + (x_1 + x_2)x_1)\alpha^3 + (x_1 + x_2)x_2 \alpha^4 \\
=\, & 1 + x_0 + x_2 + (x_1 + x_2)x_1 + (\text{$\alpha, \alpha^2$ の項}).
\end{align*}
従って $x_1, x_2$ を任意に一組決めると，方程式の $\alpha^0, \alpha^1, \alpha^2$ の係数を比較して $x_0, y_1, y_2$ が一意に定まる．また $y_0$ は任意だから解は $2^3 = 8$ 個．
以上から答えは $2 + 8 = 10.$
