東大数理院試1993年度専門問3解答

$x=0$ の時は $y^2+y=0$ だから $y=0,1.$
以下 $x\ne 0$ とする．${\mathbb{F}}_2$ 上の既約多項式 $t^3+t+1\in {\mathbb{F}}_2[t]$ の根の一つを $\alpha$ とすれば ${\mathbb{F}}_8\cong {\mathbb{F}}_2[\alpha ]/({\alpha }^3+\alpha +1)$ である．
$x=x_0+x_1\alpha +x_2{\alpha }^2,y=y_0+y_1\alpha +y_2{\alpha }^2(x_i,y_i\in {\mathbb{F}}_2)$ とおくと，${\alpha }^4=\alpha \cdot {\alpha }^3=\alpha (-\alpha -1)={\alpha }^2+\alpha$ であることから
$$\begin{array}{rl}{x}^2& =x_0^2+x_1^2{\alpha }^2+x_2^2{\alpha }^4\\ & =x_0+x_1{\alpha }^2+x_2({\alpha }^2+\alpha )\\ & =x_0+x_2\alpha +(x_1+x_2){\alpha }^2.\end{array}$$
よって
$$\begin{array}{rl}{y}^2+y=& (y_0+y_2\alpha +(y_1+y_2){\alpha }^2)+(y_0+y_1\alpha +y_2{\alpha }^2)\\ =& (y_1+y_2)\alpha +y_1{\alpha }^2,\\ x^7+x^3=& 1+(x_0+x_2\alpha +(x_1+x_2){\alpha }^2)(x_0+x_1\alpha +x_2{\alpha }^2)\\ =& 1+x_0^2+(x_0{x}_1+x_0{x}_2)\alpha +(x_0{x}_2+x_1{x}_2+(x_1+x_2)x_0){\alpha }^2\\ & +(x_2^2+(x_1+x_2)x_1){\alpha }^3+(x_1+x_2)x_2{\alpha }^4\\ =& 1+x_0+x_2+(x_1+x_2)x_1+(\alpha ,{\alpha }^2\text{ の項}).\end{array}$$
従って $x_1,x_2$ を任意に一組決めると，方程式の ${\alpha }^0,{\alpha }^1,{\alpha }^2$ の係数を比較して $x_0,y_1,y_2$ が一意に定まる．また $y_0$ は任意だから解は $2^3=8$ 個．

以上から答えは $2+8=10.$