皆さんこんにちは,Y・Yです。この記事はWathematica Advent Calender2024の12月14日の分として書きました。後輩たちが力作をたくさん書いていて凄いなぁと思います。素粒子でも物性でもない謎の分野,原子核について紹介します。
原子と原子核
私たちの身の回りにある物質は,原子という非常に小さな粒子からできている,とまず私たちは中学校の化学で習います。さらに中3だか高校1年になると原子というのは中心にある原子核とその周りを"軌道運動"する電子から出来ていて,原子核はさらに陽子と中性子からできていることを学びます。(画像は理化学研究所仁科加速器科学研究センターから)化学や物性物理では,この電子が主役となって物質の非常に様々な構造を解き明かすわけです。しかし,よく考えてみると原子核というのも陽子と中性子からなる量子多体系であり,非常に豊かな構造を持つわけです。その中でも特に大事な「アイソスピン」という概念について少し紹介してみたいと思います。
第1章で原子核は陽子と中性子という2種類の粒子からできているということを述べました。しかし,陽子と中性子の質量は非常に似通った値を取る(わずかに中性子の方が重い)ということは高校で習ったと思います。
粒子 | 質量 (MeV/c²) |
---|---|
陽子 | 938.27 |
中性子 | 939.56 |
そこで,これら二つは異なる粒子ではなく,そもそも同じ粒子の異なる状態であるという考えに至ります。つまり,2準位系
を考えるわけです。
2準位系ですので,これらはユニタリ変換
で表せます。(スピンと異なる空間の生成子であることを強調するために,
を導入します。これをアイソスピン(荷電スピン)演算子と呼び,スピン演算子
アイソスピンの
等の状態にある粒子は自然界には存在しません。(超選択則)それならばアイソスピンを考えることに意味はあるのでしょうか。
実は,アイソスピンは複合粒子を考える際に非常に有用な指針となります。それは,核力にはアイソスピンの第3成分を特別視しないからです。これを核力の荷電独立性と言います。最も簡単な例として,重陽子を見ていきましょう。重陽子は陽子と中性子が結合した状態です。これは
と書かれますが,核力はアイソスピンの第三成分を区別しないので,
でなくてはなりません。これは,重陽子がアイソスピン一重項
であることを表します。これは,核子がFermionであることを考慮すると,波動関数に強い制限を与えます。位置規定の波動関数を
となります。アイソスピン1重項のアイソスピン波動関数は反対称なので,重陽子に対しては
でなくてはならないという強い条件を与えます。実際に,重陽子はスピン1を持ち,軌道角運動量は偶数しか取りません。
陽子や中性子はハドロンと呼ばれるクォーク複数からなる複合粒子の一種であることが分かっています。例えば陽子は
クォーク | 質量 (MeV/c²) | 備考 |
---|---|---|
アップ (u) | 2.16 | アイソスピン |
ダウン (d) | 4.67 | アイソスピン |
ストレンジ (s) | 93.5 | |
チャーム (c) | ||
ボトム (b) | ||
トップ (t) |
さらに,素粒子の標準模型における強い力を記述するラグランジアン密度
では,クォークのフレーバーは質量
素粒子の標準模型(higgstan.com より)
素粒子の弱い相互作用を記述するWinberg-Salam 理論では質量0の左巻きレプトン同士は2重項をなし
というペアを作り,それらにたいして
QCDのラグランジアン密度は相当すっきりした形で書けるわけですが,それを用いて核力ポテンシャルを導くというのは非常に難解な問題になります。
核力ポテンシャルはスピンやアイソスピンに強く依存します。具体的には核力ポテンシャルの項の中にはHeisenberg項
やMajorana項
さらにテンソル力という非常に複雑な項が混ざります。
しかし,Wignerは近似的に核力ポテンシャルが核子の位置だけに依存するとした場合にどのようなことが言えるのかを考えました。
スピン対称性
という直積群を考えます。しかし,核力がスピンにもアイソスピンにも作用しないのならばこれはもっと大きな群
の部分群として考えることが出来ます。これをWignerの
で表されます。ただし
というテンソル積表現として,スピン・アイソスピン空間のケット
これはスピンもアイソスピンも変えてしまうようなめちゃくちゃな変換なわけですが,質量数(バリオン数)
Wignerの
Wignerの
がある。
原子核物理の「アイソスピン対称性」というかなり絞った(つもり)のトピックについて書いてみました。本文で紹介した以外にも,原子核の
はたしてMathlogで書いたうまみはあったのか……
[1]野上茂吉郎,基礎物理学選書 原子核,(1973)裳華房
原子核の話題が一通り載っていていい本です。アイソスピン対称性については少ししか書いてない。
[2]八木浩輔,朝倉現代物理学講座 原子核と放射 基礎的な問題への量子力学の応用(1980)朝倉書店
絶版。アイソスピンの符号がこの記事と逆なので注意。
[3]永江知文,ハドロン物理学入門(2020)裳華房
[4]青木慎也,格子QCDによるハドロン物理 クォークからの理解(2017)共立出版
[5]久後汰一郎,ゲージ場の量子論I,II(1989)培風館
この辺りは素粒子の箇所を書くためにちまちま参考にしました。
[6]山田勝美・森田正人・藤井昭彦,β崩壊と強い相互作用(1974)培風館
弱い相互作用に関係する現象論が全部載ってるけどWinberg-Salamは載ってないという今手に入る本の真逆を行く本。
[7]E. Wigner, On the Consequences of the Symmetry of the Nuclear Hamiltonian on the Spectroscopy of Nuclei(1937)Phys.Rev.51,106
[8]E. Wigner, On the Structure of Nuclei Beyond Oxygen,(1937)Phys. Rev.51,947
Wignerの原論文。実は
[9]T. Mehen, I. W. Stewart, and M. B. Wise, Wigner Symmetry in the Limit of Large Scattering Lengths(1999)Phys. Rev. Lett. 83, 931
QCDからWignerの
[10]Hiroyuki Tajima, Hajime Moriya, Tomoya Naito, Wataru Horiuchi, Eiji Nakano, Kei Iida,Polaronic neutron in dilute alpha matter: A p-wave Bose polaron(2024)doi:10.48550/arXiv.2408.15043
[11]
仁科加速器科学研究センター
[12]
ひっぐすたん
イラストはこちらから頂いた。ひっぐすたんさんのやつは本当にありがたい。
[13]
Particle Data Group
一応核子の質量はここのものを適当に打ち切って使ってます。