大クリフォード主義

拡張クリフォード代数を$ \mathscr{C} := \operatorname{Cl}_{p,q}^{\{s_{ij}\}_{1 \leq i \leq j \leq p + q}}(\mathbb{R}) $とし、$ n = p + q $とする。

$ \mathscr{C} $の生成元全体の集合を$ E = \{ e_1, \cdots e_n \} $とする。

$ f_i = e_1 e_{i+1} (1 \leq i \leq n - 1) $とする。

拡張クリフォード代数$ \mathscr{D} $の生成元全体の集合を$ \{ f_1, \cdots, f_{n - 1} \} $とする。このとき、$ \mathscr{D} $には偶数個の生成元の積からなる基底の和しか入らない。
すなわち、偶数個の生成元の積からなる基底を掛けた場合、同じ生成元同士は$ 2 $個ずつキャンセルされ、偶奇が保存されるからである。

$ \mathscr{D} $の交換関係は

\begin{align*} f_i f_j &= e_1 e_i e_1 e_j \\ &= s_{1i} e_1 e_1 e_i e_j \\ &= s_{1i} s_{ij} e_1 e_1 e_j e_i \\ &= s_{1i} s_{ij} s_{1j} e_1 e_j e_1 e_i \\ &= \left( s_{1i} s_{ij} s_{1j} \right) f_i f_j \end{align*}

と導出される。

$ n \in \mathbb{N}, n \geq 2 $とする。
全て$ + $からなる符号設定を$ \mathscr{S} $とし、$ \mathscr{P}_n = \operatorname{Cl}_{n,0}^{\mathscr{S}}(\mathbb{R}) $とする。
このとき、$ \mathscr{P}_n $はどのクリフォード代数とも同型ではない。
これは以下の2つの補題から従う:

$ \mathscr{P}_n $の生成元全体の集合を$ E $とすると、任意の$ x \in \mathscr{P}_n $は実数$ \{ r_{S} \}_{S \subseteq E} $を用いて
$ \displaystyle x = \sum_{S \subseteq E} r_S S $
と書ける。
$ \mathscr{P}_n $の交換性から、任意の$ S \subseteq E $に対して$ S^2 = 1 $が成り立つので、
$ \displaystyle \Re(x^2) = \sum_{S \subseteq E} r_S^2 $
である。
右辺は実数の$ 2 $乗和なので$ 0 $以上であり、よって$ \Re(a) = 0 $である。
右辺を$ 0 $にするためには$ \forall S \subseteq E, r_S = 0 $が必要条件である。
このとき、$ x = 0 $ゆえに$ x^2 = a = 0 $である。
逆に、$ a = 0 $であれば$ x^2 = 0 $と$ x^2 = 0 $はともに$ x = 0 $を解に持つ。

$ x^2 = 1 $は$ x = 1 $を解に持つ。
$ \mathscr{C} $の生成元$ e_i $のうち一つでも$ e_i^2 = -1 $となるものがあれば、それが$ x^2 = -1 $の解の一つである。
$ \mathscr{C} $の生成元$ e_i $が全て$ e_i^2 = 1 $を満たすとする。$ \mathscr{C} $は実$ 4 $次元以上なので、相異なる生成元$ e_1, e_2 $が取れて反交換関係から
$ (e_1 e_2)^2 = e_1 e_2 e_1 e_2 = - e_1 e_1 e_2 e_2 = -1 $
が成り立つので$ e_1 e_2 $が$ x^2 = -1 $の解の一つである。

$ a \in \mathscr{P}_n $に対し、$ x^2 = a $と$ x^2 = -a $の解がともに存在するならば、$ a = 0 $である。以下でこのことを証明する。
$ B = \mathcal{P}\left(\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \}\right) $とする。
$ \displaystyle x \in \mathscr{P}_n = \sum_{S \subset B} x_S B\ \ \left(x_S \in \mathbb{R}\right)$と書けるとする。
このとき$ x^2 $の実部を$ r $とすると
$ \displaystyle r = \sum_{S \subset B} x_S^2 \geq 0 $
であるから、$ a $の実部は「$ 0 $以上でかつ、$ -1 $倍しても$ 0 $以上」でなければならないが、そのような実数は$ 0 $しか存在しない。
さらに、直前の$ \sum $の中身は実数の$ 2 $乗和であるから、これが$ 0 $になるためには全ての$ x_S $が$ 0 $でなければならない。
このとき$ a = x^2 = 0 $であり、たしかに$ x^2 = 0 $と$ x^2 = -0 $は共通解$ x = 0 $を持つ。
よって、補題4から定理が成り立つ。