【構造力学】たわみ曲線の微分方程式、厳密解調べてみた！
今回は私が高専で学習している構造力学の微分方程式について紹介します．
$y$をたわみ曲線，$M$を曲げモーメント，$E$を弾性係数，$I$を断面二次モーメントとするとき，以下が成り立つ．
$$\frac{\dv[2]{y}{x}}{\Big(1+\big(\dv{y}{x}\big)^2\Big)^{3/2}}=-\frac{M}{EI}$$
証明は参考文献にございます．
多くの書籍では，供試体の傾き$\dv{y}{x}$を$0$とみなして簡単な形で微分方程式を解いていますが，これを厳密に解きます．
ちなみに鋼などの弾性係数が大きいものだと近似を使ってもとても良い精度のたわみ量が算出できます．
曲げモーメントが$x$の関数のとき
$\dv{y}{x}=p$とします．
$$\begin{eqnarray}
\frac{\dv[2]{y}{x}}{\Big(1+\big(\dv{y}{x}\big)^2\Big)^{3/2}}&=&-\frac{M(x)}{EI}\\
\frac{\dv{p}{x}}{(1+p^2)^{3/2}}&=&-\frac{M(x)}{EI}\\
\int\frac{1}{(1+p^2)^{3/2}}\dv{p}{x}\mathrm{d}x&=&-\int\frac{M(x)}{EI}\mathrm{d}x\\
\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}&=&-\int\frac{M(x)}{EI}\mathrm{d}x\\
p=\dv{y}{x}&=&-\frac{\int\frac{M(x)}{EI}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\qty(\int\frac{M(x)}{EI}\mathrm{d}x)^2}}\tag{1}\\
y&=&-\int\frac{\int\frac{M(x)}{EI}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\qty(\int\frac{M(x)}{EI}\mathrm{d}x)^2}}\mathrm{d}x
\end{eqnarray}$$
境界条件などを考え積分定数を決定して解ける．
具体例を考えて解いてみます．
$$M(x)=-M_0$$
解説
$$\int\frac{M(x)}{EI}\mathrm{d}x=-\frac{M_0 x}{EI}+C_1$$
$y'(0)=0$から，(1)より$C_1=0$
$\frac{M_0}{EI}=a$として
$$y=\int\frac{-ax}{\sqrt{1-(ax)^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\sqrt{1-(ax)^2}+C_2$$
$y(0)=0$から，$C_2=-\frac{1}{a}$
$$y=\frac{1}{a}\sqrt{1-(ax)^2}-\frac{1}{a}$$
$$M_1(x_1)=\frac{b}{l}Px_1$$
$$M_2(x_2)=\frac{a}{l}Px_2$$
解説（追記予定）
曲げモーメントが$y$の関数のとき
先ほどと同様に，$\dv{y}{x}=p$とします．
$$\dv[2]{y}{x}=\dv{p}{x}=\dv{p}{y}\dv{y}{x}=p\dv{p}{y}$$を用いて，
$$\begin{eqnarray}
\frac{p\dv{p}{y}}{(1+p^2)^{3/2}}&=&-\frac{M(y)}{EI}\\
\int\frac{p}{(1+p^2)^{3/2}}\dv{p}{y}\mathrm{d}y&=&-\int\frac{M(y)}{EI}\mathrm{d}y\\
\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}&=&\int\frac{M(y)}{EI}\mathrm{d}y\\
p=\dv{y}{x}&=&\sqrt{\frac{1}{\qty(\int\frac{M(y)}{EI}\mathrm{d}y)^2}-1}\tag{2}\\
\int\frac{\int\frac{M(y)}{EI}\mathrm{d}y}{\sqrt{1-\qty(\int\frac{M(y)}{EI}\mathrm{d}y)^2}}\dv{y}{x}\mathrm{d}x&=&\int\mathrm{d}x\\
x&=&\int\frac{\int\frac{M(y)}{EI}\mathrm{d}y}{\sqrt{1-\qty(\int\frac{M(y)}{EI}\mathrm{d}y)^2}}\mathrm{d}y
\end{eqnarray}$$
座屈$$M(y)=Py$$とかで使えます．
参考文献
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