今回は私が高専で学習している構造力学の微分方程式について紹介します.
yをたわみ曲線,Mを曲げモーメント,Eを弾性係数,Iを断面二次モーメントとするとき,以下が成り立つ.d2ydx2(1+(dydx)2)3/2=−MEI
証明は参考文献にございます.多くの書籍では,供試体の傾きdydxを0とみなして簡単な形で微分方程式を解いていますが,これを厳密に解きます.
ちなみに鋼などの弾性係数が大きいものだと近似を使ってもとても良い精度のたわみ量が算出できます.
dydx=pとします.d2ydx2(1+(dydx)2)3/2=−M(x)EIdpdx(1+p2)3/2=−M(x)EI∫1(1+p2)3/2dpdxdx=−∫M(x)EIdxp1+p2=−∫M(x)EIdx(1)p=dydx=−∫M(x)EIdx1−(∫M(x)EIdx)2y=−∫∫M(x)EIdx1−(∫M(x)EIdx)2dx境界条件などを考え積分定数を決定して解ける.
具体例を考えて解いてみます.
M(x)=−M0
M1(x1)=blPx1M2(x2)=alPx2
先ほどと同様に,dydx=pとします.d2ydx2=dpdx=dpdydydx=pdpdyを用いて,pdpdy(1+p2)3/2=−M(y)EI∫p(1+p2)3/2dpdydy=−∫M(y)EIdy11+p2=∫M(y)EIdy(2)p=dydx=1(∫M(y)EIdy)2−1∫∫M(y)EIdy1−(∫M(y)EIdy)2dydxdx=∫dxx=∫∫M(y)EIdy1−(∫M(y)EIdy)2dy
座屈M(y)=Pyとかで使えます.
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