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大学数学基礎解説
文献あり

【構造力学】たわみ曲線の微分方程式、厳密解調べてみた!

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今回は私が高専で学習している構造力学の微分方程式について紹介します.

たわみ曲線の微分方程式

yをたわみ曲線,Mを曲げモーメント,Eを弾性係数,Iを断面二次モーメントとするとき,以下が成り立つ.
d2ydx2(1+(dydx)2)3/2=MEI

証明は参考文献にございます.
多くの書籍では,供試体の傾きdydx0とみなして簡単な形で微分方程式を解いていますが,これを厳密に解きます.

ちなみに鋼などの弾性係数が大きいものだと近似を使ってもとても良い精度のたわみ量が算出できます.

曲げモーメントがxの関数のとき

dydx=pとします.
d2ydx2(1+(dydx)2)3/2=M(x)EIdpdx(1+p2)3/2=M(x)EI1(1+p2)3/2dpdxdx=M(x)EIdxp1+p2=M(x)EIdx(1)p=dydx=M(x)EIdx1(M(x)EIdx)2y=M(x)EIdx1(M(x)EIdx)2dx
境界条件などを考え積分定数を決定して解ける.

具体例を考えて解いてみます.

自由端に曲げモーメントを作用させた片持ち梁

M(x)=M0

解説
M(x)EIdx=M0xEI+C1
y(0)=0から,(1)よりC1=0
M0EI=aとして
y=ax1(ax)2dx=1a1(ax)2+C2
y(0)=0から,C2=1a
y=1a1(ax)21a

左からa,右からbに集中荷重を作用させた単純梁

M1(x1)=blPx1
M2(x2)=alPx2

解説(追記予定)

曲げモーメントがyの関数のとき

先ほどと同様に,dydx=pとします.
d2ydx2=dpdx=dpdydydx=pdpdyを用いて,
pdpdy(1+p2)3/2=M(y)EIp(1+p2)3/2dpdydy=M(y)EIdy11+p2=M(y)EIdy(2)p=dydx=1(M(y)EIdy)21M(y)EIdy1(M(y)EIdy)2dydxdx=dxx=M(y)EIdy1(M(y)EIdy)2dy

座屈M(y)=Pyとかで使えます.

参考文献

[1]
崎元達郎, 構造力学 [第2版・新装版] 上-静定編-, 森北出版, 2021, 112-114
投稿日:24日前
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もっち
もっち
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  1. 曲げモーメントがxの関数のとき
  2. 曲げモーメントがyの関数のとき
  3. 参考文献