対称群の2つの元からなる生成系

証明　$(1\ 2\ \cdots\ n)^{-i}(1\ 2)(1\ 2\ \cdots\ n)^{i}=(n-i+1\ n-i+2)$であることに注意する.実際, 最初の$(1\ 2\ \cdots\ n)^{i}$で$\{1,\ 2\}$に含まれない元はその後の$(1\ 2\ \cdots\ n)^{-i}$で元に戻り,$(1\ 2\ \cdots\ n)^i=\begin{pmatrix} 1&2&\cdots&n\\ i+1&i+2&\cdots&i\\ \end{pmatrix}$
から$1$, $2$の原像はそれぞれ$n-i+1$, $n-i+2$である.
$(1\ i)=(i-1\ i)(i-2\ i-1)\cdots(1\ 2)\cdots(i-2\ i-1)(i-1\ i-2)$だから$(i\ j)=(1\ i)(1\ j)$から全ての互換が生成されることが分かる.任意の元は互換で生成されたので成り立つ.