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対称群の2つの元からなる生成系

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今回は初回なのでテストも兼ねて群論の本の演習になっていた次の事実を証明します.

$n$次対称群は2元$(1\ 2)$, $(1\ 2\ \cdots\ n)$により生成される.

証明 $(1\ 2\ \cdots\ n)^{-i}(1\ 2)(1\ 2\ \cdots\ n)^{i}=(n-i+1\ n-i+2)$であることに注意する.実際, 最初の$(1\ 2\ \cdots\ n)^{i}$$\{1,\ 2\}$に含まれない元はその後の$(1\ 2\ \cdots\ n)^{-i}$で元に戻り,$(1\ 2\ \cdots\ n)^i=\begin{pmatrix} 1&2&\cdots&n\\ i+1&i+2&\cdots&i\\ \end{pmatrix}$
から$1$, $2$の原像はそれぞれ$n-i+1$, $n-i+2$である.
$(1\ i)=(i-1\ i)(i-2\ i-1)\cdots(1\ 2)\cdots(i-2\ i-1)(i-1\ i-2)$だから$(i\ j)=(1\ i)(1\ j)$から全ての互換が生成されることが分かる.任意の元は互換で生成されたので成り立つ.

$a^{-1}\cdot a$で上手く変形する問題でした.

投稿日:20231226
更新日:20231226

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qq_pp
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