多変数ベータ関数でn次元球とその一般化の体積を求める
はじめに
多変数ベータ関数を用いると, $n$次元球およびそれを一般化した領域の体積公式が比較的簡単に導出できることを紹介します.
この記事では, まずガンマ関数とベータ関数を簡単に復習し, 続いて多変数ベータ関数を導入します.
その後, それを用いて一般の$(p_1,\dots,p_n)$-ballの体積を求め, 最後に通常の$n$次元球の体積公式を導きます.
ガンマ関数とベータ関数
最初にガンマ関数とベータ関数を復習します.
$\Re(z)>0$を満たす複素数$z$に対して
\begin{align} \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt \end{align}
と定める.
$\Re(z_1),\Re(z_2)>0$を満たす複素数$z_1,z_2$に対して
\begin{align} B(z_1,z_2) = \int_0^1 t^{z_1-1} (1-t)^{z_2-1} dt \end{align}
と定める.
ガンマ関数とベータ関数は, 以下の性質を満たします (証明は省略します).
\begin{align} \Gamma(1) = 1. \end{align}
\begin{align} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}. \end{align}
\begin{align} \Gamma(z+1) = z\Gamma(z). \end{align}
\begin{align} B(z_1,z_2) = \frac{\Gamma(z_1)\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)}. \end{align}
多変数ベータ関数
ベータ関数を$n$変数に拡張して, 多変数ベータ関数を定義します.
$\Re(z_1),\dots,\Re(z_n)>0$を満たす複素数$z_1,\dots,z_n$に対して
\begin{align} B(z_1,\dots,z_n) &= \int_{\substack{0\le t_1,\dots,t_n\le 1 \\ t_1+\dots+t_n=1}} t_1^{z_1-1}\cdots t_n^{z_n-1} dt_1 \cdots dt_{n-1} \\ &= \int_{\substack{0\le t_1,\dots,t_{n-1}\le 1 \\ t_1+\dots+t_{n-1}\le 1}} t_1^{z_1-1}\cdots t_{n-1}^{z_{n-1}-1} (1-t_1-\cdots-t_{n-1})^{z_n-1} dt_1 \cdots dt_{n-1} \end{align}
と定める.
この関数は, 次の関係式を満たします (定理1(4)の一般化).
\begin{align} B(z_1,\dots,z_n) = \frac{\Gamma(z_1)\cdots\Gamma(z_n)}{\Gamma(z_1+\cdots+z_n)}. \end{align}
ガンマ関数の定義より
\begin{align}
\Gamma(z_1)\cdots\Gamma(z_n)
&=
\int_0^\infty e^{-u_1} u_1^{z_1-1} du_1 \cdots \int_0^\infty e^{-u_n} u_n^{z_n-1} du_n \\
&=
\int_{u_1,\dots,u_n\ge0} e^{-(u_1+\cdots+u_n)} u_1^{z_1-1} \cdots u_n^{z_n-1} du_1 \cdots du_n.
\end{align}
ここで
\begin{align} s=u_1+\cdots+u_n, \qquad t_i=\frac{u_i}{s} \quad (1 \le i \le n) \end{align}
とおくと, 変数変換$(u_1,\dots,u_n)\mapsto(s,t_1,\dots,t_{n-1})$のヤコビアンは$s^{n-1}$となる. したがって
\begin{align} \Gamma(z_1)\cdots\Gamma(z_n) &= \int_{s\ge0}\int_{\substack{0\le t_1,\dots,t_n\le 1 \\ t_1+\cdots+t_n=1}} e^{-s} (st_1)^{z_1-1} \cdots (st_n)^{z_n-1} s^{n-1} ds dt_1 \cdots dt_{n-1} \\ &= \int_0^\infty e^{-s} s^{z_1+\cdots+z_n-1} ds \int_{\substack{0\le t_1,\dots,t_n\le 1 \\ t_1+\cdots+t_n=1}} t_1^{z_1-1} \cdots t_n^{z_n-1} dt_1 \cdots dt_{n-1} \\ &= \Gamma(z_1+\dots+z_n)B(z_1,\dots,z_n). \end{align}
$(p_1,\dots,p_n)$-ballの体積
$p_1,\dots,p_n,L>0$に対して, $(p_1,\dots,p_n)$-ballを
\begin{align} \mathcal{B}_{p_1,\dots,p_n}(L) = \{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n \mid |x_1|^{p_1}+\cdots+|x_n|^{p_n} \le L \} \end{align}
で定めます.
多変数ベータ関数を用いると, この領域の体積が比較的簡単に計算できます.
\begin{align} V(\mathcal{B}_{p_1,\dots,p_n}(L)) = \frac{2^n\Gamma\left(\frac{1}{p_1}+1\right)\cdots\Gamma\left(\frac{1}{p_n}+1\right)} {\Gamma\left(\frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_n}+1\right)} L^{\frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_n}}. \end{align}
領域の対称性から
\begin{align} V(\mathcal{B}_{p_1,\dots,p_n}(L)) &= \int_{|x_1|^{p_1}+\cdots+|x_n|^{p_n}\le L} dx_1 \cdots dx_n \\ &= 2^n \int_{\substack{x_1,\dots,x_n\ge0 \\ x_1^{p_1}+\cdots+x_n^{p_n}\le L}} dx_1 \cdots dx_n. \end{align}
ここで
\begin{align} t_i = \frac{x_i^{p_i}}{L} \qquad (1\le i\le n) \end{align}
とおくと
\begin{align} x_i = L^{\frac{1}{p_i}}t_i^{\frac{1}{p_i}},\qquad dx_i = \frac{L^{\frac{1}{p_i}}}{p_i}t_i^{\frac{1}{p_i}-1}dt_i. \end{align}
よって
\begin{align} V(\mathcal{B}_{p_1,\dots,p_n}(L)) = 2^n \left(\prod_{i=1}^n\frac{L^{\frac{1}{p_i}}}{p_i}\right) \int_{\substack{0\le t_1,\dots,t_n\le 1 \\ t_1+\cdots+t_n\le 1}} t_1^{\frac{1}{p_1}-1} \cdots t_n^{\frac{1}{p_n}-1} dt_1 \cdots dt_n. \end{align}
ここで, 右辺の積分は$(n+1)$-変数ベータ関数
\begin{align} B\left(\frac{1}{p_1},\dots,\frac{1}{p_n},1\right) \end{align}
に等しい. したがって
\begin{align} V(\mathcal{B}_{p_1,\dots,p_n}(L)) &= 2^n \left(\prod_{i=1}^n\frac{L^{\frac{1}{p_i}}}{p_i}\right) B\left(\frac{1}{p_1},\dots,\frac{1}{p_n},1\right) \\ &= 2^n \left(\prod_{i=1}^n\frac{L^{\frac{1}{p_i}}}{p_i}\right) \frac{\Gamma\left(\frac{1}{p_1}\right)\cdots\Gamma\left(\frac{1}{p_n}\right)\Gamma(1)} {\Gamma\left(\frac{1}{p_1}+\cdots+\frac{1}{p_n}+1\right)}. \end{align}
最後に
\begin{align} \frac{1}{p_i}\Gamma\left(\frac{1}{p_i}\right) = \Gamma\left(\frac{1}{p_i}+1\right), \qquad \Gamma(1)=1 \end{align}
より, 目的の等式が従う.
$L^p$-ballの体積
次に, 全ての指数が等しい場合を考えます.
$p,R>0$に対して, $n$次元$L^p$-ballを
\begin{align} \mathcal{B}_p^n(R) = \left\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n \, \middle| \, (|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{\frac{1}{p}} \le R \right\} \end{align}
で定めます.
特に$p=2$のとき, これは通常の$n$次元球になります.
上の定理で$p_1=\cdots=p_n=p,L=R^p$とすると, 次の公式が得られます.
\begin{align} V(\mathcal{B}_p^n(R)) = \frac{\left(2\Gamma\left(\frac{1}{p}+1\right)\right)^n} {\Gamma\left(\frac{n}{p}+1\right)} R^n. \end{align}
この定理でさらに$p=2$とすると, $n$次元球の体積公式が得られます.
\begin{align} V(\mathcal{B}_2^n(R)) &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}R^n \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi^m}{m!}R^{2m}, & n=2m, \\ \dfrac{2^{m+1}\pi^m}{(2m+1)!!}R^{2m+1}, & n=2m+1. \end{array} \right. \end{align}
\begin{align} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align}
より, 定理4で$p=2$とすると
\begin{align} V(\mathcal{B}_2^n(R)) &= \frac{\left(2\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\right)^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}R^n \\ &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}R^n. \end{align}
さらに, $n=2m$のとき
\begin{align} \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right) = \Gamma(m+1) = m!. \end{align}
$n=2m+1$のとき
\begin{align} \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right) &= \Gamma\left(\frac{2m+1}{2}+1\right) \\ &= \frac{2m+1}{2}\frac{2m-1}{2}\cdots\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{(2m+1)!!\sqrt{\pi}}{2^{m+1}}. \end{align}
以上より, 目的の等式が従う.
