ここではJacobiの三重積にHeineの和公式を用いた証明を与える．

&&&prop (Jacobi's triple product)
$z\ne 0$に対して，
$$
(z\sqrt q, \sqrt q/z, q;q)_\infty=\sum_{n\in\Z}(-1)^nq^{n^2/2}z^n
$$
が成り立つ．
&&&
&&&prf
[Heineの和公式](https://mathlog.info/articles/Olefn2LlYanleukTTjoO)
$$
\p21\hgs{a, b}{c}{\frac c{ab}}_q=\frac{(c/a, c/b;q)_\infty}{(c, c/ab;q)_\infty}
$$
において，$c=bz\sqrt q$として$b\to0, a\to \infty$とすることで
$$
\sum_{0\le n}\frac{(-1)^nq^{n^2/2}}{(q;q)_n}z^n=(z\sqrt q;q)_\infty
$$
また$c=zq$として$a, b\to\infty$とすれば
$$
\sum_{0\le n}\frac{q^{n^2}z^n}{(q, zq;q)_n}=\frac1{(zq;q)_\infty}
$$
を得ます．一つ目の極限をとった式において$z\mapsto z$としたものと元の式を掛け合わせることで
\begin{align}
(z\sqrt q, \sqrt q/z;q)_\infty
&=\sum_{0\le m, n}\frac{(-1)^{m+n}q^{\frac{m^2+n^2}2}}{(q;q)_m(q;q)_n}z^{m-n}\\
&=\sum_{0\le n}\frac{(-1)^nq^{n^2/2}}{(q;q)_n}z^n\sum_{0\le k}\frac{q^{k^2}}{(q, q^{n+1};q)_k}q^{nk}+\sum_{1\le n}\frac{(-1)^nq^{n^2/2}}{(q;q)_n}z^\i n\sum_{0\le k}\frac{q^{k^2}}{(q, q^{n+1};q)_k}q^{nk}\\
&=\sum_{0\le n}\frac1{(q;q)_n(q^{n+1};q)_n}(-1)^nq^{n^2/2}z^n+\sum_{0\le n}\frac1{(q;q)_n(q^{n+1};q)_n}(-1)^nq^{n^2/2}z^\i n\\
&=\frac1{(q,q)_\infty}\sum_{0\le n}(-1)^nq^{n^2/2}z^n
\end{align}
となることからわかる．(途中で二つ目の極限をとった式を用いた)
&&&

これを少し書き換えると，次のような表示が得られる．

$$
f(a,b)=(-a,-b,ab;ab)_\infty=\sum_{n\in\Z}a^{n(n-1)/2}b^{n(n+1)/2}
$$

この$f$はRamanujanのテータと呼ばれるもので，似たような記号として

\begin{align}
\varphi(q)&=f(q,q)=\sum_{n\in\Z}q^{n^2}=(-q;q^2)_\infty^2(q^2;q^2)_\infty,\\
\psi(q)&=f(q,q^3)=\sum_{n\in\Z}q^{n(n+1)/2}=(q^2;q^2)_\infty(-q;q)_\infty,\\
\chi(q)&=\frac{f(-q^2;-q^2)}{(q;q)_\infty}=(-q;q^2)_\infty,\\
\phi(q)&=f(-q,-q^2)=\sum_{n\in\Z}(-1)^nq^{n(3n-1)/2}=(q;q)_\infty
\end{align}
のようなものがある．最後のものは[Euler関数](https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_function)と呼ばれているものである．

Jacobiの三重積の証明

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