$$\newcommand{ab}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\newcommand{abs}[1]{\mathbb{A_{R}}_{_{#1}}[x]}
\newcommand{ae}[0]{\qquad\mathrm{a.e.}}
\newcommand{bb}[0]{mathbb}
\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol}
\newcommand{C}[0]{\mathbb C}
\newcommand{cls}[2]{{\clsa_{#1}\!\!^{#2}}}
\newcommand{de}[0]{\coloneq}
\newcommand{f}[2]{{_{#1}F_{#2}}}
\newcommand{F}[5]{\f{#1}{#2}\hgs{#3}{#4}{#5}}
\newcommand{fg}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}
\newcommand{fh}[0]{\newcommand{\fg}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}}
\newcommand{g}[0]{\Gamma}
\newcommand{gf}[2]{\L[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix}\R]}
\newcommand{GL}[1]{\operatorname{GL}_{#1}(\C)}
\newcommand{h}[3]{\left[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix};#3\right]}
\newcommand{hgs}[3]{\left[\begin{matrix}#1\\ #2\end{matrix};#3\right]}
\newcommand{i}[1]{{-{#1}}}
\newcommand{If}[0]{\mathrm{if}\quad}
\newcommand{imply}[0]{\implies}
\newcommand{isin}[0]{\in}
\newcommand{kd}[2]{\delta_{{#1},{#2}}}
\newcommand{L}[0]{\left}
\newcommand{m}[1]{\left(\matrix{#1}\right)}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{o}[2]{\ordi{#1}{#2}{}}
\newcommand{ok}[2]{\ordi{}{#1}{#2}}
\newcommand{ordi}[3]{\frac{d #1^{#3}}{d #2^{#3}}}
\newcommand{p}[2]{\part{#1}{#2}{}}
\newcommand{p}[2]{{_{#1}\phi_{#2}}}
\newcommand{part}[3]{\frac{\partial #1^{#3}}{\partial #2^{#3}}}
\newcommand{pk}[2]{\part{}{#1}{#2}}
\newcommand{pol}[0]{\operatorname{Pol}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{Q}[5]{\p{#1}{#2}\hgs{#3}{#4}{#5}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{R}[0]{\right}
\newcommand{Res}[0]{\operatorname{Res}}
\newcommand{rsum}[1]{\sum_{#1}\!^\R}
\newcommand{sgn}[0]{\operatorname{sgn}}
\newcommand{SL}[1]{\operatorname{SL}_{#1}(\C)}
\newcommand{Speed}[0]{\operatorname{Speed}}
\newcommand{t}[0]{\vartheta}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{zero}[0]{\overline{\varphi}}
$$
ここではJacobiの三重積にHeineの和公式を用いた証明を与える．
(Jacobi's triple product)
$z\ne 0$に対して，
$$
(z\sqrt q, \sqrt q/z, q;q)_\infty=\sum_{n\in\Z}(-1)^nq^{n^2/2}z^n
$$
が成り立つ．
Heineの和公式
$$
\p21\hgs{a, b}{c}{\frac c{ab}}_q=\frac{(c/a, c/b;q)_\infty}{(c, c/ab;q)_\infty}
$$
において，$c=bz\sqrt q$として$b\to0, a\to \infty$とすることで
$$
\sum_{0\le n}\frac{(-1)^nq^{n^2/2}}{(q;q)_n}z^n=(z\sqrt q;q)_\infty
$$
また$c=zq$として$a, b\to\infty$とすれば
$$
\sum_{0\le n}\frac{q^{n^2}z^n}{(q, zq;q)_n}=\frac1{(zq;q)_\infty}
$$
を得ます．一つ目の極限をとった式において$z\mapsto z$としたものと元の式を掛け合わせることで
\begin{align}
(z\sqrt q, \sqrt q/z;q)_\infty
&=\sum_{0\le m, n}\frac{(-1)^{m+n}q^{\frac{m^2+n^2}2}}{(q;q)_m(q;q)_n}z^{m-n}\\
&=\sum_{0\le n}\frac{(-1)^nq^{n^2/2}}{(q;q)_n}z^n\sum_{0\le k}\frac{q^{k^2}}{(q, q^{n+1};q)_k}q^{nk}+\sum_{1\le n}\frac{(-1)^nq^{n^2/2}}{(q;q)_n}z^\i n\sum_{0\le k}\frac{q^{k^2}}{(q, q^{n+1};q)_k}q^{nk}\\
&=\sum_{0\le n}\frac1{(q;q)_n(q^{n+1};q)_n}(-1)^nq^{n^2/2}z^n+\sum_{0\le n}\frac1{(q;q)_n(q^{n+1};q)_n}(-1)^nq^{n^2/2}z^\i n\\
&=\frac1{(q,q)_\infty}\sum_{0\le n}(-1)^nq^{n^2/2}z^n
\end{align}
となることからわかる．(途中で二つ目の極限をとった式を用いた)
これを少し書き換えると，次のような表示が得られる．
$$
f(a,b)=(-a,-b,ab;ab)_\infty=\sum_{n\in\Z}a^{n(n-1)/2}b^{n(n+1)/2}
$$
この$f$はRamanujanのテータと呼ばれるもので，似たような記号として
\begin{align}
\varphi(q)&=f(q,q)=\sum_{n\in\Z}q^{n^2}=(-q;q^2)_\infty^2(q^2;q^2)_\infty,\\
\psi(q)&=f(q,q^3)=\sum_{n\in\Z}q^{n(n+1)/2}=(q^2;q^2)_\infty(-q;q)_\infty,\\
\chi(q)&=\frac{f(-q^2;-q^2)}{(q;q)_\infty}=(-q;q^2)_\infty,\\
\phi(q)&=f(-q,-q^2)=\sum_{n\in\Z}(-1)^nq^{n(3n-1)/2}=(q;q)_\infty
\end{align}
のようなものがある．最後のものは
Euler関数
と呼ばれているものである．
