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Jacobiの三重積の証明

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ここではJacobiの三重積にHeineの和公式を用いた証明を与える.

(Jacobi's triple product)

z0に対して,
(zq,q/z,q;q)=nZ(1)nqn2/2zn
が成り立つ.

Heineの和公式
2ϕ1[a,bc;cab]q=(c/a,c/b;q)(c,c/ab;q)
において,c=bzqとしてb0,aとすることで
0n(1)nqn2/2(q;q)nzn=(zq;q)
またc=zqとしてa,bとすれば
0nqn2zn(q,zq;q)n=1(zq;q)
を得ます.一つ目の極限をとった式においてzzとしたものと元の式を掛け合わせることで
(zq,q/z;q)=0m,n(1)m+nqm2+n22(q;q)m(q;q)nzmn=0n(1)nqn2/2(q;q)nzn0kqk2(q,qn+1;q)kqnk+1n(1)nqn2/2(q;q)nzn0kqk2(q,qn+1;q)kqnk=0n1(q;q)n(qn+1;q)n(1)nqn2/2zn+0n1(q;q)n(qn+1;q)n(1)nqn2/2zn=1(q,q)0n(1)nqn2/2zn
となることからわかる.(途中で二つ目の極限をとった式を用いた)

これを少し書き換えると,次のような表示が得られる.

f(a,b)=(a,b,ab;ab)=nZan(n1)/2bn(n+1)/2

このfはRamanujanのテータと呼ばれるもので,似たような記号として

φ(q)=f(q,q)=nZqn2=(q;q2)2(q2;q2),ψ(q)=f(q,q3)=nZqn(n+1)/2=(q2;q2)(q;q),χ(q)=f(q2;q2)(q;q)=(q;q2),ϕ(q)=f(q,q2)=nZ(1)nqn(3n1)/2=(q;q)
のようなものがある.最後のものは Euler関数 と呼ばれているものである.

投稿日:2024912
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