測度の意味では、実数はほとんど無理数だと言える

測度の意味では、実数はほとんど無理数だと言える

はじめに

有理数も無理数も、実数の中に稠密に詰まっているというのはよく知られていると思いますが、ルベーグ測度で測ってみると、この2つは全然対称ではなかったです。実は測度の意味では、実数はほとんど無理数だと言えます。ここではそれを、$\mu\text{-a.e.}$（ほとんど至るところ）の定義に沿って示していこうと思います。

定義の準備

$\mu\text{-a.e.}$（ほとんど至るところ）の定義をおさらいします。ここからは、測度空間として$(X, \mathscr M, \mu)$を前提とします。

今回の問題

準備

測度空間として $(X, \mathscr M, \mu)$ をさっき定めましたが、問題にもある通り、それぞれ具体的に以下のように設定します。

• $ X:= \mathbb R $
• $\mathscr M := \mathscr B(\mathbb R)$（実数上のボレルσ-加法族）
• $\mu$：ルベーグ測度

有理数全体は零集合

まず、有理数全体 $\mathbb Q$ の測度が零であることを示します。有理数全体は可算なので、すべて1列に並べておけます。
$$\mathbb Q = \{q_1, q_2, \dots\}$$

任意に $\varepsilon > 0$ を固定して、各 $q_n$ を包む区間を以下のようにとります。
$$I_n = \left[\, q_n - \frac{\varepsilon}{2^{n+1}},\ q_n + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} \,\right]$$

閉区間だから可測で、その長さは次のようになります。
$$\mu(I_n) = 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} = \frac{\varepsilon}{2^n}$$

各有理数 $q_n$ は $I_n$ に入っているので、可算和で有理数全体を覆えます。
$$\mathbb Q \subset \bigcup_{n=1}^\infty I_n$$

単調性と劣加法性より、次が成り立ちます。
$$\mu(\mathbb Q) \le \mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty I_n \right) \le \sum_{n=1}^\infty \mu(I_n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^n}$$

右辺は等比級数だから、
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon \cdot \frac{1/2}{1 - 1/2} = \varepsilon$$

よって $0 \le \mu(\mathbb Q) \le \varepsilon$ となります。$\varepsilon$ は任意だったので $\varepsilon \to 0$ としてよいので、
$$\mu(\mathbb Q) = 0$$

が得られます。

「無理数である」は a.e. で成り立つ

↑で定義した「ほとんどすべての（almost every）x に対して成り立つ」でいうところの、$A := \mathbb Q,\ N := \mathbb Q$ とおいて考えます。

ここで $N$ が可測集合であることを確認します。$\mathbb Q = \bigcup_{q \in \mathbb Q} \{q\}$ と書けて、一点集合 $\{q\}$ なので可測です。また、有理数は高々可算でσ-加法族は可算和に閉じているので、$\mathbb Q \in \mathscr B(\mathbb R)$ となります。

このとき $A$ は、$A \subset N$ かつ $\mu(N) = 0$ となる $N \in \mathscr B(\mathbb R)$ を持つので、 $A$ は零集合です。そして $A^c = \mathbb Q^c$ の上では $x$ は無理数なので、$P(x) = xは無理数$ と命題を立てれば、以下が成り立ちます。
$$\exists\, \text{零集合}\ A \subset X,\ \text{ s.t. }\ \forall x \in A^c,\ P(x)\ \text{は真}$$

これはまさに $P(x)\ \mu\text{-a.e.}$ であることの定義そのものです。 つまり測度で見れば、実数はほとんど無理数だと言えます。