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Löwenheim–Skolemの定理

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  • Lを一階の言語とする.
  • 構造A,Bの台をA,Bとかく.
  • L構造Aに対して,L(A)構造(A,a)aAAAとかく.

Löwenheim–Skolemの定理

Löwenheim–Skolemの定理(下方)

L構造Bの部分集合Smax(|S|,|L|)κ|B|を満たす無限基数κに対して,Sを含むBの初等部分構造Aであって|A|=κを満たすものが存在する.

Sを含むBの部分集合Sであって|S|=κを満たすものをとる.するとSを含むBの初等部分構造Aであって|A|max(|S|,|L|,0)=κ,すなわち|A|=κを満たすものが存在する.

Löwenheim–Skolemの定理(上方)

無限L構造Amax(|L|,|A|)κを満たす基数κに対して,Aの初等拡大Bであって|B|=κを満たすものが存在する.

|C|=κを満たす新たな定数記号の集合Cをとり,LC理論T:=Th(AA){¬c=.dc,dC}を考える.Tの任意の有限部分集合はモデルをもつから,コンパクト性定理よりTはモデルBをもつ.BAの初等拡大でありκ|B|が成り立つから,定理1よりAの初等拡大Bであって|B|=κを満たすものが存在する.

L理論Tが無限モデルをもつとき,|L|κを満たす任意の基数κに対してTのモデルAであって|A|=κを満たすものが存在する.

定理1,定理2より従う.

投稿日:121
更新日:128
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