Löwenheim–Skolemの定理

$L$を一階の言語とする．
構造$\A,\B$の台を$A,B$とかく．
$L$構造$\A$に対して，$L(A)$構造$(\A,a)_{a\in A}$を$\A_A$とかく．

Löwenheim–Skolemの定理

Löwenheim–Skolemの定理（下方）

$L$構造$\B$の部分集合$S$と$\max(|S|,|L|)\le\kappa\le|B|$を満たす無限基数$\kappa$に対して，$S$を含む$\B$の初等部分構造$\A$であって$|A|=\kappa$を満たすものが存在する．

$S$を含む$\B$の部分集合$S'$であって$|S'|=\kappa$を満たすものをとる．すると$S'$を含む$\B$の初等部分構造$\A$であって$|A|\le\max(|S'|,|L|,\aleph_0)=\kappa$，すなわち$|A|=\kappa$を満たすものが存在する．

Löwenheim–Skolemの定理（上方）

無限$L$構造$\A$と$\max(|L|,|A|)\le\kappa$を満たす基数$\kappa$に対して，$\A$の初等拡大$\B$であって$|B|=\kappa$を満たすものが存在する．

$|C|=\kappa$を満たす新たな定数記号の集合$C$をとり，$L\cup C$理論$T\coloneqq\Th(\A_A)\cup\{\lnot c\overset{.}{=}d\mid c,d\in C\}$を考える．$T$の任意の有限部分集合はモデルをもつから，コンパクト性定理より$T$はモデル$\B'$をもつ．$\B'$は$\A$の初等拡大であり$\kappa\le|B'|$が成り立つから，定理1より$\A$の初等拡大$\B$であって$|B|=\kappa$を満たすものが存在する．