Löwenheim–Skolemの定理

$L$ を一階の言語とする．
構造 $A, B$ の台を $A, B$ とかく．
$L$ 構造 $A$ に対して， $L (A)$ 構造 $(A, a)_{a \in A}$ を $A_{A}$ とかく．

Löwenheim–Skolemの定理

Löwenheim–Skolemの定理（下方）

$L$ 構造 $B$ の部分集合 $S$ と $max (| S |, | L |) \leq κ \leq | B |$ を満たす無限基数 $κ$ に対して， $S$ を含む $B$ の初等部分構造 $A$ であって $| A | = κ$ を満たすものが存在する．

$S$ を含む $B$ の部分集合 $S^{'}$ であって $| S^{'} | = κ$ を満たすものをとる．すると $S^{'}$ を含む $B$ の初等部分構造 $A$ であって $| A | \leq max (| S^{'} |, | L |, ℵ_{0}) = κ$ ，すなわち $| A | = κ$ を満たすものが存在する．

Löwenheim–Skolemの定理（上方）

無限 $L$ 構造 $A$ と $max (| L |, | A |) \leq κ$ を満たす基数 $κ$ に対して， $A$ の初等拡大 $B$ であって $| B | = κ$ を満たすものが存在する．

$| C | = κ$ を満たす新たな定数記号の集合 $C$ をとり， $L \cup C$ 理論 $T : = Th (A_{A}) \cup {\neg c \dot{=} d ∣ c, d \in C}$ を考える． $T$ の任意の有限部分集合はモデルをもつから，コンパクト性定理より $T$ はモデル $B^{'}$ をもつ． $B^{'}$ は $A$ の初等拡大であり $κ \leq | B^{'} |$ が成り立つから，定理1より $A$ の初等拡大 $B$ であって $| B | = κ$ を満たすものが存在する．