「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その3

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その3

問題

$n=2m$の場合

$\begin{array}{rcl}& 1+2+\cdots +n& =n(n+1)/2\\ & & =m(2m+1)\end{array}$

$1^k+2^k+\cdots +n^k|m$
かつ
$1^k+2^k+\cdots +n^k|2m+1$
であればよい。
$\begin{array}{rcl}& & 1^k+2^k+\cdots +2m^k\\ & =& 1^k+2^k+\cdots +m^k-m^k-(m-1{)}^k\cdots +(-1{)}^k(\mathrm{mod}2m-1)\\ & =& 0(\mathrm{mod}2m+1)\end{array}$
次に$m$に関して。

$1^k+2^k+\cdots +m^k+(m+1{)}^k+\cdots +(2m{)}^k|m$
$1^k+2^k+\cdots +(m-1{)}^k+0^k+1^k+\cdots +0^k|m$
$2(1^k+2^k+\cdots +(m-1{)}^k)|m$
$m$が奇数なら
$2(1^k+2^k+((m-1)/2{)}^k+(-(m-1)/2{)}^k+\cdots +(-2{)}^k+(-1{)}^k$
要するに$m=2n+1$の時、
$n=\frac{m-1}{2}$
そして$2n$個の元が並んでいて、最後の項は$(2n{)}^k$なので、
$(-(m-1)/2{)}^k$以降の項はその前の近い項とプラスとマイナスで符号だけ異なる。
$m$が偶数なら、項の数は奇数。
$a,b,c,$芯$,-c,-b,-a$
のようになる。（項が7つの場合）
残る項は、真ん中の項だ。
初めの2倍を忘れずに。（計算結果と関係がある。忘れたら解けない）
　2*(\frac{m}{2})^k\equiv 0\pmod {2m}

問題その2

$n=2m-1$の時
$\begin{array}{rc}& 1+2+\cdots +n=n(n+1)/2\\ & & =m(2m-1)\end{array}$

$\begin{array}{rclrc}& 1^k+2^k+\cdots +(2m-1{)}^k& =m(2m-1)& & =0(\mathrm{mod}2m-1)\end{array}$
$\therefore (-2m{)}^k+(-2m+1)+\cdots +(-1{)}^k+0^k=0(\mathrm{mod}2m-1)$
2つの両辺を足して
$(-2m{)}^k=(2m-1-2m{)}^k=1(\mathrm{mod}2m-1)$

よって、題意は誤りであると示せた。
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$1$残っちゃった。