「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その3

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、整数の練習問題その3

問題

$n=2m$の場合

$\begin{eqnarray}&1+2+\cdots+n&=n(n+1)/2\\ &&=m(2m+1)\end{eqnarray}$

$1^k+2^k+\cdots+n^k|m$
かつ
$1^k+2^k+\cdots+n^k|2m+1$
であればよい。
$\begin{eqnarray}&&1^k+2^k+\cdots+2m^k\\ &=&1^k+2^k+\cdots +m^k-m^k-(m-1)^k\cdots+(-1)^k \pmod {2m-1}\\ &=&0\pmod {2m+1} \end{eqnarray}$
次に$m$に関して。

$1^k+2^k+\cdots+m^k+(m+1)^k+\cdots+(2m)^k|m$
$1^k+2^k+\cdots+(m-1)^k+0^k+1^k+\cdots+0^k|m$
$2(1^k+2^k+\cdots+(m-1)^k)|m$
$m$が奇数なら
$2(1^k+2^k+((m-1)/2)^k +(-(m-1)/2)^k +\cdots+(-2)^k+(-1)^k$
要するに$m=2n+1$の時、
$n=\frac{m-1}{2}$
そして$2n$個の元が並んでいて、最後の項は$(2n)^k$なので、
$(-(m-1)/2)^k$以降の項はその前の近い項とプラスとマイナスで符号だけ異なる。
$m$が偶数なら、項の数は奇数。
$a, b, c, $芯$, -c, -b, -a$
のようになる。（項が7つの場合）
残る項は、真ん中の項だ。
初めの2倍を忘れずに。（計算結果と関係がある。忘れたら解けない）
　2*(\frac{m}{2})^k\equiv 0\pmod {2m}

問題その2

$n=2m-1$の時
$\begin{eqnarray}&1+2+\cdots+n=n(n+1)/2\\ &&=m(2m-1)\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}&1^k+2^k+\cdots+(2m-1)^k &=m(2m-1) &&=0\pmod {2m-1} \end{eqnarray}$
$\therefore (-2m)^k+(-2m+1)+\cdots+(-1)^k+0^k=0\pmod {2m-1}$
2つの両辺を足して
$(-2m)^k=(2m-1-2m)^k=1\pmod {2m-1}$

よって、題意は誤りであると示せた。
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$1$残っちゃった。