Edwardsによるヘロンの公式の複素数を使った証明

$\mathrm{△}ABC$の3辺の長さを$AB=c,BC=a,CA=b$, 内接円の半径を$r$とすると$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=rs.$
ここで, 図のように角度$\alpha ,\beta ,\gamma$, 長さ$x,y,z,u,v,w$を設定する. このとき, $\alpha +\beta +\gamma =\pi .$
また, $x+y+z=s,x+y=c,y+z=a,z+x=b$より, $x=s-a,y=s-b,z=s-c.$
さらに, $(r+\mathrm{i}x)(r+\mathrm{i}y)(r+\mathrm{i}z)=u{e}^{\mathrm{i}\alpha }\cdot v{e}^{\mathrm{i}\beta }\cdot w{e}^{\mathrm{i}\gamma }=uvw{e}^{\mathrm{i}(\alpha +\beta +\gamma )}=uvw{e}^{\mathrm{i}\pi }=-uvw.$
この式の虚部を比較して, $r^2(x+y+z)-xyz=0$. よって, $xyz=r^2(x+y+z)=r^{2}s.$
したがって, ${\displaystyle 1=\frac{xyz}{r^{2}s}=\frac{sxyz}{(rs{)}^2}=\frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{S^2}}$より ${\displaystyle S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.}$