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不定方程式のときかた

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不定方程式を解く
31x+22y=3を満たす整数(x,y)を一般の整数kで表せ.

(1) 31x+22y=1の解を求め, 両辺を3倍する

ユークリッドの互除法を使うと,
335+22(7)=1 両辺を3倍すると,
3315+22(21)=1
よって, (x,y)=(22k+15,31k21)

(2) 連立方程式を立てる

31x+22y=3 22で括る
9x+22(x+y)=3 9で括る
9(3x+2y)+4(x+y)=3 4で括る
1(3x+2y)+4(7x+5y)=3
m+4n=3を満たす整数の組(m,n)を見つける(今回は(1,1))
{3x+2y=17x+5y=1を解くと, (x,y)=(7,10)
よって, 解は(x,y)=(22k7,31k+10)

(3) 片方の係数を法として考える.

31x+22y=3 22を法とする.
9x3(mod22)
9x3+2322(mod22)
x15(mod22) あとは代入して整理して,
(x,y)=(22k+15,31k21)

今のところ, 実用的なものはこの3個です.
また新しく見つかったら更新します.

投稿日:20201116
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pina_
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本垢 @Kak1_n0_tane

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  1. (1) 31x+22y=1の解を求め, 両辺を3倍する
  2. (2) 連立方程式を立てる
  3. (3) 片方の係数を法として考える.